Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30601 / 26731
↖ ↑ ↗
← N 31.452096°
W 11.903686°		 ← 521.05 m → N 31.452096°
W 11.898193°		 →
↑
521.08 m
↓
↑
521.08 m
↓
N 31.447410°
W 11.903686°		 ← 521.07 m →
271 517 m²		 N 31.447410°
W 11.898193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466941833496094 y=0.407890319824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466941833496094 × 216)
    floor (0.466941833496094 × 65536)
    floor (30601.5)     		tx = 30601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407890319824219 × 216)
    floor (0.407890319824219 × 65536)
    floor (26731.5)     		ty = 26731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30601 / 26731 ti = "16/30601/26731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30601/26731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30601 ÷ 216
    30601 ÷ 65536     		x = 0.466934204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26731 ÷ 216
    26731 ÷ 65536     		y = 0.407882690429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466934204101562 × 2 - 1) × π
    -0.066131591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20775852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407882690429688 × 2 - 1) × π
    0.184234619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.578790126012558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20775852} λ = -0.20775852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.578790126012558))-π/2
    2×atan(1.78387885598224)-π/2
    2×1.05986948367152-π/2
    2.11973896734303-1.57079632675     		φ = 0.54894264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20775852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.903686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54894264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.452096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30601 KachelY 26731 -0.20775852 0.54894264 -11.903686 31.452096
    Oben rechts KachelX + 1 30602 KachelY 26731 -0.20766265 0.54894264 -11.898193 31.452096
    Unten links KachelX 30601 KachelY + 1 26732 -0.20775852 0.54886085 -11.903686 31.447410
    Unten rechts KachelX + 1 30602 KachelY + 1 26732 -0.20766265 0.54886085 -11.898193 31.447410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54894264-0.54886085) × R
    8.17900000000815e-05 × 6371000     		dl = 521.084090000519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54894264-0.54886085) × R
    8.17900000000815e-05 × 6371000     		dr = 521.084090000519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20775852--0.20766265) × cos(0.54894264) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.853076713959408 × 6371000     		do = 521.048823758183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20775852--0.20766265) × cos(0.54886085) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.85311938794298 × 6371000     		du = 521.074888505446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54894264)-sin(0.54886085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853076713959408-0.85311938794298)×R²
    abs(-0.20766265--0.20775852)×4.26739835722723e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.26739835722723e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.26739835722723e-05×40589641000000     		ar = 271517.043287648m²