Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30599 / 26655
↖ ↑ ↗
← N 31.807561°
W 11.914673°		 ← 519.06 m → N 31.807561°
W 11.909180°		 →
↑
519.11 m
↓
↑
519.11 m
↓
N 31.802893°
W 11.914673°		 ← 519.09 m →
269 456 m²		 N 31.802893°
W 11.909180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466911315917969 y=0.406730651855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466911315917969 × 216)
    floor (0.466911315917969 × 65536)
    floor (30599.5)     		tx = 30599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406730651855469 × 216)
    floor (0.406730651855469 × 65536)
    floor (26655.5)     		ty = 26655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30599 / 26655 ti = "16/30599/26655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30599/26655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30599 ÷ 216
    30599 ÷ 65536     		x = 0.466903686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26655 ÷ 216
    26655 ÷ 65536     		y = 0.406723022460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466903686523438 × 2 - 1) × π
    -0.066192626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20795027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406723022460938 × 2 - 1) × π
    0.186553955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.586076534754806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20795027} λ = -0.20795027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586076534754806))-π/2
    2×atan(1.79692439632568)-π/2
    2×1.06297149595454-π/2
    2.12594299190908-1.57079632675     		φ = 0.55514667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20795027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.914673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55514667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.807561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30599 KachelY 26655 -0.20795027 0.55514667 -11.914673 31.807561
    Oben rechts KachelX + 1 30600 KachelY 26655 -0.20785440 0.55514667 -11.909180 31.807561
    Unten links KachelX 30599 KachelY + 1 26656 -0.20795027 0.55506519 -11.914673 31.802893
    Unten rechts KachelX + 1 30600 KachelY + 1 26656 -0.20785440 0.55506519 -11.909180 31.802893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55514667-0.55506519) × R
    8.14799999999671e-05 × 6371000     		dl = 519.109079999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55514667-0.55506519) × R
    8.14799999999671e-05 × 6371000     		dr = 519.109079999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20795027--0.20785440) × cos(0.55514667) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.849823144354701 × 6371000     		do = 519.061583234785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20795027--0.20785440) × cos(0.55506519) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.849866087030189 × 6371000     		du = 519.087812095784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55514667)-sin(0.55506519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849823144354701-0.849866087030189)×R²
    abs(-0.20785440--0.20795027)×4.29426754883222e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.29426754883222e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.29426754883222e-05×40589641000000     		ar = 269456.388905467m²