Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30589 / 26741
↖ ↑ ↗
← N 31.405224°
W 11.969605°		 ← 521.36 m → N 31.405224°
W 11.964111°		 →
↑
521.34 m
↓
↑
521.34 m
↓
N 31.400535°
W 11.969605°		 ← 521.39 m →
271 814 m²		 N 31.400535°
W 11.964111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466758728027344 y=0.408042907714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466758728027344 × 216)
    floor (0.466758728027344 × 65536)
    floor (30589.5)     		tx = 30589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408042907714844 × 216)
    floor (0.408042907714844 × 65536)
    floor (26741.5)     		ty = 26741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30589 / 26741 ti = "16/30589/26741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30589/26741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30589 ÷ 216
    30589 ÷ 65536     		x = 0.466751098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26741 ÷ 216
    26741 ÷ 65536     		y = 0.408035278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466751098632812 × 2 - 1) × π
    -0.066497802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20890901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408035278320312 × 2 - 1) × π
    0.183929443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.577831388020157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20890901} λ = -0.20890901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.577831388020157))-π/2
    2×atan(1.7821694031388)-π/2
    2×1.05946044288527-π/2
    2.11892088577054-1.57079632675     		φ = 0.54812456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20890901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.969605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54812456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.405224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30589 KachelY 26741 -0.20890901 0.54812456 -11.969605 31.405224
    Oben rechts KachelX + 1 30590 KachelY 26741 -0.20881313 0.54812456 -11.964111 31.405224
    Unten links KachelX 30589 KachelY + 1 26742 -0.20890901 0.54804273 -11.969605 31.400535
    Unten rechts KachelX + 1 30590 KachelY + 1 26742 -0.20881313 0.54804273 -11.964111 31.400535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54812456-0.54804273) × R
    8.18299999999494e-05 × 6371000     		dl = 521.338929999678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54812456-0.54804273) × R
    8.18299999999494e-05 × 6371000     		dr = 521.338929999678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20890901--0.20881313) × cos(0.54812456) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.853503290740249 × 6371000     		do = 521.363748333511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20890901--0.20881313) × cos(0.54804273) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.853545928468811 × 6371000     		du = 521.389793653107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54812456)-sin(0.54804273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853503290740249-0.853545928468811)×R²
    abs(-0.20881313--0.20890901)×4.2637728561945e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.2637728561945e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.2637728561945e-05×40589641000000     		ar = 271814.008068152m²