Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30588 / 26668
↖ ↑ ↗
← N 31.746854°
W 11.975098°		 ← 519.40 m → N 31.746854°
W 11.969605°		 →
↑
519.43 m
↓
↑
519.43 m
↓
N 31.742183°
W 11.975098°		 ← 519.43 m →
269 799 m²		 N 31.742183°
W 11.969605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466743469238281 y=0.406929016113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466743469238281 × 216)
    floor (0.466743469238281 × 65536)
    floor (30588.5)     		tx = 30588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406929016113281 × 216)
    floor (0.406929016113281 × 65536)
    floor (26668.5)     		ty = 26668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30588 / 26668 ti = "16/30588/26668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30588/26668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30588 ÷ 216
    30588 ÷ 65536     		x = 0.46673583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26668 ÷ 216
    26668 ÷ 65536     		y = 0.40692138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46673583984375 × 2 - 1) × π
    -0.0665283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20900488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40692138671875 × 2 - 1) × π
    0.1861572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.584830175364685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20900488} λ = -0.20900488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.584830175364685))-π/2
    2×atan(1.79468617783304)-π/2
    2×1.06244172953706-π/2
    2.12488345907413-1.57079632675     		φ = 0.55408713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20900488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.975098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55408713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.746854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30588 KachelY 26668 -0.20900488 0.55408713 -11.975098 31.746854
    Oben rechts KachelX + 1 30589 KachelY 26668 -0.20890901 0.55408713 -11.969605 31.746854
    Unten links KachelX 30588 KachelY + 1 26669 -0.20900488 0.55400560 -11.975098 31.742183
    Unten rechts KachelX + 1 30589 KachelY + 1 26669 -0.20890901 0.55400560 -11.969605 31.742183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55408713-0.55400560) × R
    8.15299999999963e-05 × 6371000     		dl = 519.427629999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55408713-0.55400560) × R
    8.15299999999963e-05 × 6371000     		dr = 519.427629999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20900488--0.20890901) × cos(0.55408713) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.85038111680904 × 6371000     		do = 519.402385985892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20900488--0.20890901) × cos(0.55400560) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.850424012397128 × 6371000     		du = 519.428586086482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55408713)-sin(0.55400560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85038111680904-0.850424012397128)×R²
    abs(-0.20890901--0.20900488)×4.28955880870108e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.28955880870108e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.28955880870108e-05×40589641000000     		ar = 269798.755046389m²