Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30584 / 26744
↖ ↑ ↗
← N 31.391157°
W 11.997070°		 ← 521.44 m → N 31.391157°
W 11.991577°		 →
↑
521.40 m
↓
↑
521.40 m
↓
N 31.386468°
W 11.997070°		 ← 521.47 m →
271 888 m²		 N 31.386468°
W 11.991577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466682434082031 y=0.408088684082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466682434082031 × 216)
    floor (0.466682434082031 × 65536)
    floor (30584.5)     		tx = 30584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408088684082031 × 216)
    floor (0.408088684082031 × 65536)
    floor (26744.5)     		ty = 26744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30584 / 26744 ti = "16/30584/26744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30584/26744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30584 ÷ 216
    30584 ÷ 65536     		x = 0.4666748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26744 ÷ 216
    26744 ÷ 65536     		y = 0.4080810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4666748046875 × 2 - 1) × π
    -0.066650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20938838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4080810546875 × 2 - 1) × π
    0.183837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.577543766622437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20938838} λ = -0.20938838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.577543766622437))-π/2
    2×atan(1.78165688679296)-π/2
    2×1.05933769078314-π/2
    2.11867538156628-1.57079632675     		φ = 0.54787905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20938838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.997070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54787905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.391157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30584 KachelY 26744 -0.20938838 0.54787905 -11.997070 31.391157
    Oben rechts KachelX + 1 30585 KachelY 26744 -0.20929250 0.54787905 -11.991577 31.391157
    Unten links KachelX 30584 KachelY + 1 26745 -0.20938838 0.54779721 -11.997070 31.386468
    Unten rechts KachelX + 1 30585 KachelY + 1 26745 -0.20929250 0.54779721 -11.991577 31.386468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54787905-0.54779721) × R
    8.18399999999997e-05 × 6371000     		dl = 521.402639999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54787905-0.54779721) × R
    8.18399999999997e-05 × 6371000     		dr = 521.402639999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20938838--0.20929250) × cos(0.54787905) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.853631197196795 × 6371000     		do = 521.441880181945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20938838--0.20929250) × cos(0.54779721) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.853673822984772 × 6371000     		du = 521.467918207617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54787905)-sin(0.54779721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853631197196795-0.853673822984772)×R²
    abs(-0.20929250--0.20938838)×4.26257879769798e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.26257879769798e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.26257879769798e-05×40589641000000     		ar = 271887.961232852m²