Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30582 / 26610
↖ ↑ ↗
← N 32.017392°
W 12.008057°		 ← 517.93 m → N 32.017392°
W 12.002563°		 →
↑
517.90 m
↓
↑
517.90 m
↓
N 32.012734°
W 12.008057°		 ← 517.96 m →
268 244 m²		 N 32.012734°
W 12.002563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466651916503906 y=0.406044006347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466651916503906 × 216)
    floor (0.466651916503906 × 65536)
    floor (30582.5)     		tx = 30582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406044006347656 × 216)
    floor (0.406044006347656 × 65536)
    floor (26610.5)     		ty = 26610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30582 / 26610 ti = "16/30582/26610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30582/26610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30582 ÷ 216
    30582 ÷ 65536     		x = 0.466644287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26610 ÷ 216
    26610 ÷ 65536     		y = 0.406036376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466644287109375 × 2 - 1) × π
    -0.06671142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20958013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406036376953125 × 2 - 1) × π
    0.18792724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.590390855720612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20958013} λ = -0.20958013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.590390855720612))-π/2
    2×atan(1.80469365240391)-π/2
    2×1.06480261404877-π/2
    2.12960522809754-1.57079632675     		φ = 0.55880890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20958013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.008057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55880890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.017392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30582 KachelY 26610 -0.20958013 0.55880890 -12.008057 32.017392
    Oben rechts KachelX + 1 30583 KachelY 26610 -0.20948425 0.55880890 -12.002563 32.017392
    Unten links KachelX 30582 KachelY + 1 26611 -0.20958013 0.55872761 -12.008057 32.012734
    Unten rechts KachelX + 1 30583 KachelY + 1 26611 -0.20948425 0.55872761 -12.002563 32.012734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55880890-0.55872761) × R
    8.12900000000116e-05 × 6371000     		dl = 517.898590000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55880890-0.55872761) × R
    8.12900000000116e-05 × 6371000     		dr = 517.898590000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20958013--0.20948425) × cos(0.55880890) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.847887205735677 × 6371000     		do = 517.933154496663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20958013--0.20948425) × cos(0.55872761) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.847930300994532 × 6371000     		du = 517.959479299316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55880890)-sin(0.55872761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847887205735677-0.847930300994532)×R²
    abs(-0.20948425--0.20958013)×4.30952588555966e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.30952588555966e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.30952588555966e-05×40589641000000     		ar = 268243.667365022m²