Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30581 / 26615
↖ ↑ ↗
← N 31.994101°
W 12.013550°		 ← 518.01 m → N 31.994101°
W 12.008057°		 →
↑
518.03 m
↓
↑
518.03 m
↓
N 31.989442°
W 12.013550°		 ← 518.04 m →
268 350 m²		 N 31.989442°
W 12.008057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466636657714844 y=0.406120300292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466636657714844 × 216)
    floor (0.466636657714844 × 65536)
    floor (30581.5)     		tx = 30581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406120300292969 × 216)
    floor (0.406120300292969 × 65536)
    floor (26615.5)     		ty = 26615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30581 / 26615 ti = "16/30581/26615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30581/26615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30581 ÷ 216
    30581 ÷ 65536     		x = 0.466629028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26615 ÷ 216
    26615 ÷ 65536     		y = 0.406112670898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466629028320312 × 2 - 1) × π
    -0.066741943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20967600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406112670898438 × 2 - 1) × π
    0.187774658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.589911486724411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20967600} λ = -0.20967600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.589911486724411))-π/2
    2×atan(1.80382874554064)-π/2
    2×1.0645993628081-π/2
    2.1291987256162-1.57079632675     		φ = 0.55840240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20967600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.013550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55840240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.994101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30581 KachelY 26615 -0.20967600 0.55840240 -12.013550 31.994101
    Oben rechts KachelX + 1 30582 KachelY 26615 -0.20958013 0.55840240 -12.008057 31.994101
    Unten links KachelX 30581 KachelY + 1 26616 -0.20967600 0.55832109 -12.013550 31.989442
    Unten rechts KachelX + 1 30582 KachelY + 1 26616 -0.20958013 0.55832109 -12.008057 31.989442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55840240-0.55832109) × R
    8.13100000000011e-05 × 6371000     		dl = 518.026010000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55840240-0.55832109) × R
    8.13100000000011e-05 × 6371000     		dr = 518.026010000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20967600--0.20958013) × cos(0.55840240) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.848102652486928 × 6371000     		do = 518.010727843564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20967600--0.20958013) × cos(0.55832109) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.848145730318861 × 6371000     		du = 518.037039256467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55840240)-sin(0.55832109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848102652486928-0.848145730318861)×R²
    abs(-0.20958013--0.20967600)×4.30778319323588e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.30778319323588e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.30778319323588e-05×40589641000000     		ar = 268349.845628064m²