Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30580 / 26740
↖ ↑ ↗
← N 31.409912°
W 12.019043°		 ← 521.28 m → N 31.409912°
W 12.013550°		 →
↑
521.34 m
↓
↑
521.34 m
↓
N 31.405224°
W 12.019043°		 ← 521.31 m →
271 772 m²		 N 31.405224°
W 12.013550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466621398925781 y=0.408027648925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466621398925781 × 216)
    floor (0.466621398925781 × 65536)
    floor (30580.5)     		tx = 30580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408027648925781 × 216)
    floor (0.408027648925781 × 65536)
    floor (26740.5)     		ty = 26740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30580 / 26740 ti = "16/30580/26740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30580/26740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30580 ÷ 216
    30580 ÷ 65536     		x = 0.46661376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26740 ÷ 216
    26740 ÷ 65536     		y = 0.40802001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46661376953125 × 2 - 1) × π
    -0.0667724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20977187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40802001953125 × 2 - 1) × π
    0.1839599609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.577927261819397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20977187} λ = -0.20977187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.577927261819397))-π/2
    2×atan(1.78234027468129)-π/2
    2×1.05950135616483-π/2
    2.11900271232965-1.57079632675     		φ = 0.54820639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20977187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.019043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54820639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.409912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30580 KachelY 26740 -0.20977187 0.54820639 -12.019043 31.409912
    Oben rechts KachelX + 1 30581 KachelY 26740 -0.20967600 0.54820639 -12.013550 31.409912
    Unten links KachelX 30580 KachelY + 1 26741 -0.20977187 0.54812456 -12.019043 31.405224
    Unten rechts KachelX + 1 30581 KachelY + 1 26741 -0.20967600 0.54812456 -12.013550 31.405224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54820639-0.54812456) × R
    8.18300000000605e-05 × 6371000     		dl = 521.338930000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54820639-0.54812456) × R
    8.18300000000605e-05 × 6371000     		dr = 521.338930000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20977187--0.20967600) × cos(0.54820639) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.853460647296502 × 6371000     		do = 521.283325544975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20977187--0.20967600) × cos(0.54812456) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.853503290740249 × 6371000     		du = 521.309371638887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54820639)-sin(0.54812456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853460647296502-0.853503290740249)×R²
    abs(-0.20967600--0.20977187)×4.2643443747159e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2643443747159e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2643443747159e-05×40589641000000     		ar = 271772.080739753m²