Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30577 / 26739
↖ ↑ ↗
← N 31.414600°
W 12.035522°		 ← 521.26 m → N 31.414600°
W 12.030029°		 →
↑
521.28 m
↓
↑
521.28 m
↓
N 31.409912°
W 12.035522°		 ← 521.28 m →
271 725 m²		 N 31.409912°
W 12.030029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466575622558594 y=0.408012390136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466575622558594 × 216)
    floor (0.466575622558594 × 65536)
    floor (30577.5)     		tx = 30577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408012390136719 × 216)
    floor (0.408012390136719 × 65536)
    floor (26739.5)     		ty = 26739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30577 / 26739 ti = "16/30577/26739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30577/26739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30577 ÷ 216
    30577 ÷ 65536     		x = 0.466567993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26739 ÷ 216
    26739 ÷ 65536     		y = 0.408004760742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466567993164062 × 2 - 1) × π
    -0.066864013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21005949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408004760742188 × 2 - 1) × π
    0.183990478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.578023135618637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21005949} λ = -0.21005949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.578023135618637))-π/2
    2×atan(1.78251116260667)-π/2
    2×1.05954226740019-π/2
    2.11908453480038-1.57079632675     		φ = 0.54828821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21005949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.035522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54828821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.414600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30577 KachelY 26739 -0.21005949 0.54828821 -12.035522 31.414600
    Oben rechts KachelX + 1 30578 KachelY 26739 -0.20996362 0.54828821 -12.030029 31.414600
    Unten links KachelX 30577 KachelY + 1 26740 -0.21005949 0.54820639 -12.035522 31.409912
    Unten rechts KachelX + 1 30578 KachelY + 1 26740 -0.20996362 0.54820639 -12.030029 31.409912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54828821-0.54820639) × R
    8.18200000000102e-05 × 6371000     		dl = 521.275220000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54828821-0.54820639) × R
    8.18200000000102e-05 × 6371000     		dr = 521.275220000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21005949--0.20996362) × cos(0.54828821) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.853418003350126 × 6371000     		do = 521.257279144065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21005949--0.20996362) × cos(0.54820639) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.853460647296502 × 6371000     		du = 521.283325544975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54828821)-sin(0.54820639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853418003350126-0.853460647296502)×R²
    abs(-0.20996362--0.21005949)×4.26439463755424e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.26439463755424e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.26439463755424e-05×40589641000000     		ar = 271725.291685471m²