Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30574 / 26736
↖ ↑ ↗
← N 31.428663°
W 12.052002°		 ← 521.23 m → N 31.428663°
W 12.046509°		 →
↑
521.21 m
↓
↑
521.21 m
↓
N 31.423976°
W 12.052002°		 ← 521.26 m →
271 680 m²		 N 31.423976°
W 12.046509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466529846191406 y=0.407966613769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466529846191406 × 216)
    floor (0.466529846191406 × 65536)
    floor (30574.5)     		tx = 30574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407966613769531 × 216)
    floor (0.407966613769531 × 65536)
    floor (26736.5)     		ty = 26736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30574 / 26736 ti = "16/30574/26736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30574/26736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30574 ÷ 216
    30574 ÷ 65536     		x = 0.466522216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26736 ÷ 216
    26736 ÷ 65536     		y = 0.407958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466522216796875 × 2 - 1) × π
    -0.06695556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21034712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407958984375 × 2 - 1) × π
    0.18408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.578310757016357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21034712} λ = -0.21034712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.578310757016357))-π/2
    2×atan(1.78302392469585)-π/2
    2×1.0596649888394-π/2
    2.11932997767881-1.57079632675     		φ = 0.54853365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21034712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.052002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54853365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.428663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30574 KachelY 26736 -0.21034712 0.54853365 -12.052002 31.428663
    Oben rechts KachelX + 1 30575 KachelY 26736 -0.21025124 0.54853365 -12.046509 31.428663
    Unten links KachelX 30574 KachelY + 1 26737 -0.21034712 0.54845184 -12.052002 31.423976
    Unten rechts KachelX + 1 30575 KachelY + 1 26737 -0.21025124 0.54845184 -12.046509 31.423976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54853365-0.54845184) × R
    8.180999999996e-05 × 6371000     		dl = 521.211509999745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54853365-0.54845184) × R
    8.180999999996e-05 × 6371000     		dr = 521.211509999745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21034712--0.21025124) × cos(0.54853365) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.853290047661569 × 6371000     		do = 521.2334884833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21034712--0.21025124) × cos(0.54845184) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.853332703531676 × 6371000     		du = 521.259544884686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54853365)-sin(0.54845184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853290047661569-0.853332703531676)×R²
    abs(-0.21025124--0.21034712)×4.26558701071e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.26558701071e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.26558701071e-05×40589641000000     		ar = 271679.6841947m²