Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30573 / 26677
↖ ↑ ↗
← N 31.704803°
W 12.057495°		 ← 519.64 m → N 31.704803°
W 12.052002°		 →
↑
519.68 m
↓
↑
519.68 m
↓
N 31.700129°
W 12.057495°		 ← 519.66 m →
270 054 m²		 N 31.700129°
W 12.052002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466514587402344 y=0.407066345214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466514587402344 × 216)
    floor (0.466514587402344 × 65536)
    floor (30573.5)     		tx = 30573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407066345214844 × 216)
    floor (0.407066345214844 × 65536)
    floor (26677.5)     		ty = 26677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30573 / 26677 ti = "16/30573/26677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30573/26677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30573 ÷ 216
    30573 ÷ 65536     		x = 0.466506958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26677 ÷ 216
    26677 ÷ 65536     		y = 0.407058715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466506958007812 × 2 - 1) × π
    -0.066986083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21044299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407058715820312 × 2 - 1) × π
    0.185882568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.583967311171524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21044299} λ = -0.21044299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.583967311171524))-π/2
    2×atan(1.7931382753031)-π/2
    2×1.06207476456566-π/2
    2.12414952913132-1.57079632675     		φ = 0.55335320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21044299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.057495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55335320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.704803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30573 KachelY 26677 -0.21044299 0.55335320 -12.057495 31.704803
    Oben rechts KachelX + 1 30574 KachelY 26677 -0.21034712 0.55335320 -12.052002 31.704803
    Unten links KachelX 30573 KachelY + 1 26678 -0.21044299 0.55327163 -12.057495 31.700129
    Unten rechts KachelX + 1 30574 KachelY + 1 26678 -0.21034712 0.55327163 -12.052002 31.700129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55335320-0.55327163) × R
    8.15699999999753e-05 × 6371000     		dl = 519.682469999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55335320-0.55327163) × R
    8.15699999999753e-05 × 6371000     		dr = 519.682469999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21044299--0.21034712) × cos(0.55335320) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.85076705766079 × 6371000     		do = 519.638113938084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21044299--0.21034712) × cos(0.55327163) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.850809923370468 × 6371000     		du = 519.664295789308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55335320)-sin(0.55327163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85076705766079-0.850809923370468)×R²
    abs(-0.21034712--0.21044299)×4.28657096778196e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.28657096778196e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.28657096778196e-05×40589641000000     		ar = 270053.621831617m²