Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30571 / 26723
↖ ↑ ↗
← N 31.489578°
W 12.068482°		 ← 520.89 m → N 31.489578°
W 12.062988°		 →
↑
520.89 m
↓
↑
520.89 m
↓
N 31.484893°
W 12.068482°		 ← 520.92 m →
271 337 m²		 N 31.484893°
W 12.062988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466484069824219 y=0.407768249511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466484069824219 × 216)
    floor (0.466484069824219 × 65536)
    floor (30571.5)     		tx = 30571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407768249511719 × 216)
    floor (0.407768249511719 × 65536)
    floor (26723.5)     		ty = 26723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30571 / 26723 ti = "16/30571/26723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30571/26723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30571 ÷ 216
    30571 ÷ 65536     		x = 0.466476440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26723 ÷ 216
    26723 ÷ 65536     		y = 0.407760620117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466476440429688 × 2 - 1) × π
    -0.067047119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21063474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407760620117188 × 2 - 1) × π
    0.184478759765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.579557116406479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21063474} λ = -0.21063474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.579557116406479))-π/2
    2×atan(1.78524759876788)-π/2
    2×1.06019656901564-π/2
    2.12039313803127-1.57079632675     		φ = 0.54959681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21063474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.068482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54959681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.489578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30571 KachelY 26723 -0.21063474 0.54959681 -12.068482 31.489578
    Oben rechts KachelX + 1 30572 KachelY 26723 -0.21053886 0.54959681 -12.062988 31.489578
    Unten links KachelX 30571 KachelY + 1 26724 -0.21063474 0.54951505 -12.068482 31.484893
    Unten rechts KachelX + 1 30572 KachelY + 1 26724 -0.21053886 0.54951505 -12.062988 31.484893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54959681-0.54951505) × R
    8.17600000000418e-05 × 6371000     		dl = 520.892960000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54959681-0.54951505) × R
    8.17600000000418e-05 × 6371000     		dr = 520.892960000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21063474--0.21053886) × cos(0.54959681) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.852735195023509 × 6371000     		do = 520.894555928159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21063474--0.21053886) × cos(0.54951505) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.852777898974375 × 6371000     		du = 520.920641699747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54959681)-sin(0.54951505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852735195023509-0.852777898974375)×R²
    abs(-0.21053886--0.21063474)×4.27039508659188e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.27039508659188e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.27039508659188e-05×40589641000000     		ar = 271337.101184239m²