Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30560 / 26589
↖ ↑ ↗
← N 32.115148°
W 12.128906°		 ← 517.38 m → N 32.115148°
W 12.123413°		 →
↑
517.33 m
↓
↑
517.33 m
↓
N 32.110496°
W 12.128906°		 ← 517.41 m →
267 660 m²		 N 32.110496°
W 12.123413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466316223144531 y=0.405723571777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466316223144531 × 216)
    floor (0.466316223144531 × 65536)
    floor (30560.5)     		tx = 30560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405723571777344 × 216)
    floor (0.405723571777344 × 65536)
    floor (26589.5)     		ty = 26589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30560 / 26589 ti = "16/30560/26589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30560/26589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30560 ÷ 216
    30560 ÷ 65536     		x = 0.46630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26589 ÷ 216
    26589 ÷ 65536     		y = 0.405715942382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46630859375 × 2 - 1) × π
    -0.0673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21168935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405715942382812 × 2 - 1) × π
    0.188568115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.592404205504654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21168935} λ = -0.21168935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.592404205504654))-π/2
    2×atan(1.8083307921679)-π/2
    2×1.06565570500623-π/2
    2.13131141001246-1.57079632675     		φ = 0.56051508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21168935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.128906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56051508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.115148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30560 KachelY 26589 -0.21168935 0.56051508 -12.128906 32.115148
    Oben rechts KachelX + 1 30561 KachelY 26589 -0.21159347 0.56051508 -12.123413 32.115148
    Unten links KachelX 30560 KachelY + 1 26590 -0.21168935 0.56043388 -12.128906 32.110496
    Unten rechts KachelX + 1 30561 KachelY + 1 26590 -0.21159347 0.56043388 -12.123413 32.110496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56051508-0.56043388) × R
    8.12000000000035e-05 × 6371000     		dl = 517.325200000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56051508-0.56043388) × R
    8.12000000000035e-05 × 6371000     		dr = 517.325200000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21168935--0.21159347) × cos(0.56051508) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.846981395247164 × 6371000     		do = 517.379838819155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21168935--0.21159347) × cos(0.56043388) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.847024560204422 × 6371000     		du = 517.40620619718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56051508)-sin(0.56043388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846981395247164-0.847024560204422)×R²
    abs(-0.21159347--0.21168935)×4.31649572579795e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.31649572579795e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.31649572579795e-05×40589641000000     		ar = 267660.448994764m²