Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30552 / 26776
↖ ↑ ↗
← N 31.240986°
W 12.172852°		 ← 522.22 m → N 31.240986°
W 12.167359°		 →
↑
522.29 m
↓
↑
522.29 m
↓
N 31.236288°
W 12.172852°		 ← 522.25 m →
272 759 m²		 N 31.236288°
W 12.167359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466194152832031 y=0.408576965332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466194152832031 × 216)
    floor (0.466194152832031 × 65536)
    floor (30552.5)     		tx = 30552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408576965332031 × 216)
    floor (0.408576965332031 × 65536)
    floor (26776.5)     		ty = 26776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30552 / 26776 ti = "16/30552/26776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30552/26776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30552 ÷ 216
    30552 ÷ 65536     		x = 0.4661865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26776 ÷ 216
    26776 ÷ 65536     		y = 0.4085693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4661865234375 × 2 - 1) × π
    -0.067626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21245634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4085693359375 × 2 - 1) × π
    0.182861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.574475805046753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21245634} λ = -0.21245634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.574475805046753))-π/2
    2×atan(1.77619920817818)-π/2
    2×1.05802719159737-π/2
    2.11605438319474-1.57079632675     		φ = 0.54525806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21245634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.172852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54525806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.240986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30552 KachelY 26776 -0.21245634 0.54525806 -12.172852 31.240986
    Oben rechts KachelX + 1 30553 KachelY 26776 -0.21236047 0.54525806 -12.167359 31.240986
    Unten links KachelX 30552 KachelY + 1 26777 -0.21245634 0.54517608 -12.172852 31.236288
    Unten rechts KachelX + 1 30553 KachelY + 1 26777 -0.21236047 0.54517608 -12.167359 31.236288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54525806-0.54517608) × R
    8.1980000000037e-05 × 6371000     		dl = 522.294580000236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54525806-0.54517608) × R
    8.1980000000037e-05 × 6371000     		dr = 522.294580000236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21245634--0.21236047) × cos(0.54525806) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.854993479335995 × 6371000     		do = 522.219560608162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21245634--0.21236047) × cos(0.54517608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.855035994467372 × 6371000     		du = 522.245528330447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54525806)-sin(0.54517608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854993479335995-0.855035994467372)×R²
    abs(-0.21236047--0.21245634)×4.25151313773187e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.25151313773187e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.25151313773187e-05×40589641000000     		ar = 272759.227628829m²