Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30540 / 26772
↖ ↑ ↗
← N 31.259770°
W 12.238769°		 ← 522.12 m → N 31.259770°
W 12.233276°		 →
↑
522.17 m
↓
↑
522.17 m
↓
N 31.255074°
W 12.238769°		 ← 522.14 m →
272 638 m²		 N 31.255074°
W 12.233276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466011047363281 y=0.408515930175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466011047363281 × 216)
    floor (0.466011047363281 × 65536)
    floor (30540.5)     		tx = 30540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408515930175781 × 216)
    floor (0.408515930175781 × 65536)
    floor (26772.5)     		ty = 26772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30540 / 26772 ti = "16/30540/26772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30540/26772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30540 ÷ 216
    30540 ÷ 65536     		x = 0.46600341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26772 ÷ 216
    26772 ÷ 65536     		y = 0.40850830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46600341796875 × 2 - 1) × π
    -0.0679931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21360682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40850830078125 × 2 - 1) × π
    0.1829833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.574859300243713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21360682} λ = -0.21360682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.574859300243713))-π/2
    2×atan(1.7768805026716)-π/2
    2×1.05819111823849-π/2
    2.11638223647699-1.57079632675     		φ = 0.54558591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21360682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.238769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54558591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.259770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30540 KachelY 26772 -0.21360682 0.54558591 -12.238769 31.259770
    Oben rechts KachelX + 1 30541 KachelY 26772 -0.21351095 0.54558591 -12.233276 31.259770
    Unten links KachelX 30540 KachelY + 1 26773 -0.21360682 0.54550395 -12.238769 31.255074
    Unten rechts KachelX + 1 30541 KachelY + 1 26773 -0.21351095 0.54550395 -12.233276 31.255074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54558591-0.54550395) × R
    8.19600000000476e-05 × 6371000     		dl = 522.167160000303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54558591-0.54550395) × R
    8.19600000000476e-05 × 6371000     		dr = 522.167160000303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21360682--0.21351095) × cos(0.54558591) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.854823397675957 × 6371000     		do = 522.115676810309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21360682--0.21351095) × cos(0.54550395) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.854865925408423 × 6371000     		du = 522.141652229186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54558591)-sin(0.54550395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854823397675957-0.854865925408423)×R²
    abs(-0.21351095--0.21360682)×4.25277324661577e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.25277324661577e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.25277324661577e-05×40589641000000     		ar = 272638.44205991m²