Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30512 / 26800
↖ ↑ ↗
← N 31.128199°
W 12.392578°		 ← 522.84 m → N 31.128199°
W 12.387085°		 →
↑
522.87 m
↓
↑
522.87 m
↓
N 31.123497°
W 12.392578°		 ← 522.87 m →
273 384 m²		 N 31.123497°
W 12.387085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465583801269531 y=0.408943176269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465583801269531 × 216)
    floor (0.465583801269531 × 65536)
    floor (30512.5)     		tx = 30512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408943176269531 × 216)
    floor (0.408943176269531 × 65536)
    floor (26800.5)     		ty = 26800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30512 / 26800 ti = "16/30512/26800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30512/26800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30512 ÷ 216
    30512 ÷ 65536     		x = 0.465576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26800 ÷ 216
    26800 ÷ 65536     		y = 0.408935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465576171875 × 2 - 1) × π
    -0.06884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21629129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408935546875 × 2 - 1) × π
    0.18212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.57217483386499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21629129} λ = -0.21629129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.57217483386499))-π/2
    2×atan(1.77211692339804)-π/2
    2×1.0570429473837-π/2
    2.11408589476739-1.57079632675     		φ = 0.54328957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21629129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.392578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54328957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.128199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30512 KachelY 26800 -0.21629129 0.54328957 -12.392578 31.128199
    Oben rechts KachelX + 1 30513 KachelY 26800 -0.21619542 0.54328957 -12.387085 31.128199
    Unten links KachelX 30512 KachelY + 1 26801 -0.21629129 0.54320750 -12.392578 31.123497
    Unten rechts KachelX + 1 30513 KachelY + 1 26801 -0.21619542 0.54320750 -12.387085 31.123497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54328957-0.54320750) × R
    8.20700000000452e-05 × 6371000     		dl = 522.867970000288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54328957-0.54320750) × R
    8.20700000000452e-05 × 6371000     		dr = 522.867970000288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21629129--0.21619542) × cos(0.54328957) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.856012757335308 × 6371000     		do = 522.842123144373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21629129--0.21619542) × cos(0.54320750) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.856055180924455 × 6371000     		du = 522.868034953783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54328957)-sin(0.54320750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856012757335308-0.856055180924455)×R²
    abs(-0.21619542--0.21629129)×4.2423589146745e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2423589146745e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2423589146745e-05×40589641000000     		ar = 273384.173939973m²