Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30072 / 43660
↖ ↑ ↗
← S 51.220647°
W 14.809570°		 ← 382.55 m → S 51.220647°
W 14.804077°		 →
↑
382.58 m
↓
↑
382.58 m
↓
S 51.224088°
W 14.809570°		 ← 382.52 m →
146 350 m²		 S 51.224088°
W 14.804077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458869934082031 y=0.666206359863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458869934082031 × 216)
    floor (0.458869934082031 × 65536)
    floor (30072.5)     		tx = 30072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666206359863281 × 216)
    floor (0.666206359863281 × 65536)
    floor (43660.5)     		ty = 43660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30072 / 43660 ti = "16/30072/43660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30072/43660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30072 ÷ 216
    30072 ÷ 65536     		x = 0.4588623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43660 ÷ 216
    43660 ÷ 65536     		y = 0.66619873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4588623046875 × 2 - 1) × π
    -0.082275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25847576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66619873046875 × 2 - 1) × π
    -0.3323974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0442574213233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25847576} λ = -0.25847576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0442574213233))-π/2
    2×atan(0.351953075213407)-π/2
    2×0.338413692075114-π/2
    0.676827384150229-1.57079632675     		φ = -0.89396894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25847576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.809570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89396894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.220647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30072 KachelY 43660 -0.25847576 -0.89396894 -14.809570 -51.220647
    Oben rechts KachelX + 1 30073 KachelY 43660 -0.25837989 -0.89396894 -14.804077 -51.220647
    Unten links KachelX 30072 KachelY + 1 43661 -0.25847576 -0.89402899 -14.809570 -51.224088
    Unten rechts KachelX + 1 30073 KachelY + 1 43661 -0.25837989 -0.89402899 -14.804077 -51.224088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89396894--0.89402899) × R
    6.00499999999782e-05 × 6371000     		dl = 382.578549999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89396894--0.89402899) × R
    6.00499999999782e-05 × 6371000     		dr = 382.578549999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25847576--0.25837989) × cos(-0.89396894) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.626322926134076 × 6371000     		do = 382.550383353299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25847576--0.25837989) × cos(-0.89402899) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.626276112203509 × 6371000     		du = 382.521789977043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89396894)-sin(-0.89402899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626322926134076-0.626276112203509)×R²
    abs(-0.25837989--0.25847576)×4.68139305672688e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68139305672688e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68139305672688e-05×40589641000000     		ar = 146350.101403006m²