Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30068 / 44421
↖ ↑ ↗
← S 53.764949°
W 14.831543°		 ← 361.07 m → S 53.764949°
W 14.826050°		 →
↑
361.04 m
↓
↑
361.04 m
↓
S 53.768196°
W 14.831543°		 ← 361.05 m →
130 359 m²		 S 53.768196°
W 14.826050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458808898925781 y=0.677818298339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458808898925781 × 216)
    floor (0.458808898925781 × 65536)
    floor (30068.5)     		tx = 30068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677818298339844 × 216)
    floor (0.677818298339844 × 65536)
    floor (44421.5)     		ty = 44421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30068 / 44421 ti = "16/30068/44421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30068/44421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30068 ÷ 216
    30068 ÷ 65536     		x = 0.45880126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44421 ÷ 216
    44421 ÷ 65536     		y = 0.677810668945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45880126953125 × 2 - 1) × π
    -0.0823974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25885926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677810668945312 × 2 - 1) × π
    -0.355621337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.11721738254503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25885926} λ = -0.25885926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11721738254503))-π/2
    2×atan(0.327188970832915)-π/2
    2×0.316210472640969-π/2
    0.632420945281938-1.57079632675     		φ = -0.93837538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25885926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.831543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93837538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.764949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30068 KachelY 44421 -0.25885926 -0.93837538 -14.831543 -53.764949
    Oben rechts KachelX + 1 30069 KachelY 44421 -0.25876338 -0.93837538 -14.826050 -53.764949
    Unten links KachelX 30068 KachelY + 1 44422 -0.25885926 -0.93843205 -14.831543 -53.768196
    Unten rechts KachelX + 1 30069 KachelY + 1 44422 -0.25876338 -0.93843205 -14.826050 -53.768196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93837538--0.93843205) × R
    5.66699999999809e-05 × 6371000     		dl = 361.044569999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93837538--0.93843205) × R
    5.66699999999809e-05 × 6371000     		dr = 361.044569999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25885926--0.25876338) × cos(-0.93837538) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.591099221154864 × 6371000     		do = 361.073834069268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25885926--0.25876338) × cos(-0.93843205) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.591053510248696 × 6371000     		du = 361.045911494583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93837538)-sin(-0.93843205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591099221154864-0.591053510248696)×R²
    abs(-0.25876338--0.25885926)×4.5710906167562e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.5710906167562e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.5710906167562e-05×40589641000000     		ar = 130358.706547587m²