Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29984 / 44231
↖ ↑ ↗
← S 53.143475°
W 15.292969°		 ← 366.40 m → S 53.143475°
W 15.287475°		 →
↑
366.40 m
↓
↑
366.40 m
↓
S 53.146770°
W 15.292969°		 ← 366.37 m →
134 241 m²		 S 53.146770°
W 15.287475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457527160644531 y=0.674919128417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457527160644531 × 216)
    floor (0.457527160644531 × 65536)
    floor (29984.5)     		tx = 29984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674919128417969 × 216)
    floor (0.674919128417969 × 65536)
    floor (44231.5)     		ty = 44231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29984 / 44231 ti = "16/29984/44231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29984/44231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29984 ÷ 216
    29984 ÷ 65536     		x = 0.45751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44231 ÷ 216
    44231 ÷ 65536     		y = 0.674911499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45751953125 × 2 - 1) × π
    -0.0849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26691266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674911499023438 × 2 - 1) × π
    -0.349822998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.09900136068941
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26691266} λ = -0.26691266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09900136068941))-π/2
    2×atan(0.333203667885802)-π/2
    2×0.321633850954673-π/2
    0.643267701909345-1.57079632675     		φ = -0.92752862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26691266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.292969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92752862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.143475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29984 KachelY 44231 -0.26691266 -0.92752862 -15.292969 -53.143475
    Oben rechts KachelX + 1 29985 KachelY 44231 -0.26681678 -0.92752862 -15.287475 -53.143475
    Unten links KachelX 29984 KachelY + 1 44232 -0.26691266 -0.92758613 -15.292969 -53.146770
    Unten rechts KachelX + 1 29985 KachelY + 1 44232 -0.26681678 -0.92758613 -15.287475 -53.146770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92752862--0.92758613) × R
    5.75099999999829e-05 × 6371000     		dl = 366.396209999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92752862--0.92758613) × R
    5.75099999999829e-05 × 6371000     		dr = 366.396209999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26691266--0.26681678) × cos(-0.92752862) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.599813262060037 × 6371000     		do = 366.396818853186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26691266--0.26681678) × cos(-0.92758613) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.599767245015635 × 6371000     		du = 366.368709273507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92752862)-sin(-0.92758613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599813262060037-0.599767245015635)×R²
    abs(-0.26681678--0.26691266)×4.60170444018804e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.60170444018804e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.60170444018804e-05×40589641000000     		ar = 134241.256199036m²