Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29952 / 45824
↖ ↑ ↗
← S 58.077876°
W 15.468750°		 ← 323 m → S 58.077876°
W 15.463257°		 →
↑
323.01 m
↓
↑
323.01 m
↓
S 58.080781°
W 15.468750°		 ← 322.97 m →
104 327 m²		 S 58.080781°
W 15.463257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457038879394531 y=0.699226379394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457038879394531 × 216)
    floor (0.457038879394531 × 65536)
    floor (29952.5)     		tx = 29952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699226379394531 × 216)
    floor (0.699226379394531 × 65536)
    floor (45824.5)     		ty = 45824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29952 / 45824 ti = "16/29952/45824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29952/45824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29952 ÷ 216
    29952 ÷ 65536     		x = 0.45703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45824 ÷ 216
    45824 ÷ 65536     		y = 0.69921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45703125 × 2 - 1) × π
    -0.0859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26998062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69921875 × 2 - 1) × π
    -0.3984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.25172832287891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26998062} λ = -0.26998062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25172832287891))-π/2
    2×atan(0.286010051727681)-π/2
    2×0.278573081686758-π/2
    0.557146163373516-1.57079632675     		φ = -1.01365016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26998062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01365016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.077876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29952 KachelY 45824 -0.26998062 -1.01365016 -15.468750 -58.077876
    Oben rechts KachelX + 1 29953 KachelY 45824 -0.26988474 -1.01365016 -15.463257 -58.077876
    Unten links KachelX 29952 KachelY + 1 45825 -0.26998062 -1.01370086 -15.468750 -58.080781
    Unten rechts KachelX + 1 29953 KachelY + 1 45825 -0.26988474 -1.01370086 -15.463257 -58.080781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01365016--1.01370086) × R
    5.06999999998481e-05 × 6371000     		dl = 323.009699999032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01365016--1.01370086) × R
    5.06999999998481e-05 × 6371000     		dr = 323.009699999032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26998062--0.26988474) × cos(-1.01365016) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.528766113348559 × 6371000     		do = 322.99756291279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26998062--0.26988474) × cos(-1.01370086) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.528723080152901 × 6371000     		du = 322.971276021534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01365016)-sin(-1.01370086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528766113348559-0.528723080152901)×R²
    abs(-0.26988474--0.26998062)×4.30331956579044e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.30331956579044e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.30331956579044e-05×40589641000000     		ar = 104327.100458998m²