Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29821 / 44673
↖ ↑ ↗
← S 54.575246°
W 16.188355°		 ← 354.07 m → S 54.575246°
W 16.182861°		 →
↑
354.04 m
↓
↑
354.04 m
↓
S 54.578430°
W 16.188355°		 ← 354.04 m →
125 349 m²		 S 54.578430°
W 16.182861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455039978027344 y=0.681663513183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455039978027344 × 216)
    floor (0.455039978027344 × 65536)
    floor (29821.5)     		tx = 29821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681663513183594 × 216)
    floor (0.681663513183594 × 65536)
    floor (44673.5)     		ty = 44673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29821 / 44673 ti = "16/29821/44673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29821/44673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29821 ÷ 216
    29821 ÷ 65536     		x = 0.455032348632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44673 ÷ 216
    44673 ÷ 65536     		y = 0.681655883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455032348632812 × 2 - 1) × π
    -0.089935302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28254009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681655883789062 × 2 - 1) × π
    -0.363311767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.14137757995354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28254009} λ = -0.28254009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14137757995354))-π/2
    2×atan(0.31937874886831)-π/2
    2×0.309139298752464-π/2
    0.618278597504928-1.57079632675     		φ = -0.95251773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28254009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.188355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95251773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.575246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29821 KachelY 44673 -0.28254009 -0.95251773 -16.188355 -54.575246
    Oben rechts KachelX + 1 29822 KachelY 44673 -0.28244421 -0.95251773 -16.182861 -54.575246
    Unten links KachelX 29821 KachelY + 1 44674 -0.28254009 -0.95257330 -16.188355 -54.578430
    Unten rechts KachelX + 1 29822 KachelY + 1 44674 -0.28244421 -0.95257330 -16.182861 -54.578430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95251773--0.95257330) × R
    5.55700000000048e-05 × 6371000     		dl = 354.03647000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95251773--0.95257330) × R
    5.55700000000048e-05 × 6371000     		dr = 354.03647000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28254009--0.28244421) × cos(-0.95251773) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.579633287375457 × 6371000     		do = 354.069851450741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28254009--0.28244421) × cos(-0.95257330) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.57958800374084 × 6371000     		du = 354.042189875515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95251773)-sin(-0.95257330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579633287375457-0.57958800374084)×R²
    abs(-0.28244421--0.28254009)×4.52836346176433e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.52836346176433e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.52836346176433e-05×40589641000000     		ar = 125348.743770353m²