Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29811 / 44717
↖ ↑ ↗
← S 54.715102°
W 16.243286°		 ← 352.82 m → S 54.715102°
W 16.237793°		 →
↑
352.83 m
↓
↑
352.83 m
↓
S 54.718275°
W 16.243286°		 ← 352.79 m →
124 478 m²		 S 54.718275°
W 16.237793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454887390136719 y=0.682334899902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454887390136719 × 216)
    floor (0.454887390136719 × 65536)
    floor (29811.5)     		tx = 29811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682334899902344 × 216)
    floor (0.682334899902344 × 65536)
    floor (44717.5)     		ty = 44717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29811 / 44717 ti = "16/29811/44717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29811/44717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29811 ÷ 216
    29811 ÷ 65536     		x = 0.454879760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44717 ÷ 216
    44717 ÷ 65536     		y = 0.682327270507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454879760742188 × 2 - 1) × π
    -0.090240478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28349882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682327270507812 × 2 - 1) × π
    -0.364654541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1455960271201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28349882} λ = -0.28349882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1455960271201))-π/2
    2×atan(0.31803430421818)-π/2
    2×0.307918822672696-π/2
    0.615837645345392-1.57079632675     		φ = -0.95495868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28349882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.243286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95495868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.715102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29811 KachelY 44717 -0.28349882 -0.95495868 -16.243286 -54.715102
    Oben rechts KachelX + 1 29812 KachelY 44717 -0.28340295 -0.95495868 -16.237793 -54.715102
    Unten links KachelX 29811 KachelY + 1 44718 -0.28349882 -0.95501406 -16.243286 -54.718275
    Unten rechts KachelX + 1 29812 KachelY + 1 44718 -0.28340295 -0.95501406 -16.237793 -54.718275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95495868--0.95501406) × R
    5.53800000000493e-05 × 6371000     		dl = 352.825980000314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95495868--0.95501406) × R
    5.53800000000493e-05 × 6371000     		dr = 352.825980000314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28349882--0.28340295) × cos(-0.95495868) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.577642487453259 × 6371000     		do = 352.816966768821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28349882--0.28340295) × cos(-0.95501406) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.577597280434319 × 6371000     		du = 352.789354874535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95495868)-sin(-0.95501406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577642487453259-0.577597280434319)×R²
    abs(-0.28340295--0.28349882)×4.52070189398412e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.52070189398412e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.52070189398412e-05×40589641000000     		ar = 124478.12099575m²