Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 298 / 285
↖ ↑ ↗
← S 19.973349°
E 29.531250°		 ← 73.481 km → S 19.973349°
E 30.234375°		 →
↑
73.326 km
↓
↑
73.326 km
↓
S 20.632784°
E 29.531250°		 ← 73.169 km →
5 376.69 km²		 S 20.632784°
E 30.234375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5830078125 y=0.5576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5830078125 × 29)
    floor (0.5830078125 × 512)
    floor (298.5)     		tx = 298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5576171875 × 29)
    floor (0.5576171875 × 512)
    floor (285.5)     		ty = 285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 298 / 285 ti = "9/298/285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/298/285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 298 ÷ 29
    298 ÷ 512     		x = 0.58203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 285 ÷ 29
    285 ÷ 512     		y = 0.556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58203125 × 2 - 1) × π
    0.1640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51541754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.556640625 × 2 - 1) × π
    -0.11328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.355883542779297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51541754} λ = 0.51541754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.355883542779297))-π/2
    2×atan(0.700554200079972)-π/2
    2×0.611097813918807-π/2
    1.22219562783761-1.57079632675     		φ = -0.34860070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51541754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34860070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.973349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 298 KachelY 285 0.51541754 -0.34860070 29.531250 -19.973349
    Oben rechts KachelX + 1 299 KachelY 285 0.52768939 -0.34860070 30.234375 -19.973349
    Unten links KachelX 298 KachelY + 1 286 0.51541754 -0.36011002 29.531250 -20.632784
    Unten rechts KachelX + 1 299 KachelY + 1 286 0.52768939 -0.36011002 30.234375 -20.632784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34860070--0.36011002) × R
    0.01150932 × 6371000     		dl = 73325.8777199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34860070--0.36011002) × R
    0.01150932 × 6371000     		dr = 73325.8777199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51541754-0.52768939) × cos(-0.34860070) × R
    0.0122718500000001 × 0.939851609928014 × 6371000     		do = 73481.3172460896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51541754-0.52768939) × cos(-0.36011002) × R
    0.0122718500000001 × 0.935858060802633 × 6371000     		du = 73169.0857755892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34860070)-sin(-0.36011002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939851609928014-0.935858060802633)×R²
    abs(0.52768939-0.51541754)×0.00399354912538119×R²
    0.0122718500000001×0.00399354912538119×6371000²
    0.0122718500000001×0.00399354912538119×40589641000000     		ar = 5376694111.6435m²