Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29798 / 44710
↖ ↑ ↗
← S 54.692884°
W 16.314697°		 ← 353.01 m → S 54.692884°
W 16.309204°		 →
↑
353.02 m
↓
↑
353.02 m
↓
S 54.696059°
W 16.314697°		 ← 352.98 m →
124 614 m²		 S 54.696059°
W 16.309204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454689025878906 y=0.682228088378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454689025878906 × 216)
    floor (0.454689025878906 × 65536)
    floor (29798.5)     		tx = 29798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682228088378906 × 216)
    floor (0.682228088378906 × 65536)
    floor (44710.5)     		ty = 44710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29798 / 44710 ti = "16/29798/44710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29798/44710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29798 ÷ 216
    29798 ÷ 65536     		x = 0.454681396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44710 ÷ 216
    44710 ÷ 65536     		y = 0.682220458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454681396484375 × 2 - 1) × π
    -0.09063720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28474518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682220458984375 × 2 - 1) × π
    -0.36444091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.14492491052542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28474518} λ = -0.28474518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14492491052542))-π/2
    2×atan(0.318247813954368)-π/2
    2×0.308112708499972-π/2
    0.616225416999944-1.57079632675     		φ = -0.95457091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28474518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.314697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95457091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.692884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29798 KachelY 44710 -0.28474518 -0.95457091 -16.314697 -54.692884
    Oben rechts KachelX + 1 29799 KachelY 44710 -0.28464931 -0.95457091 -16.309204 -54.692884
    Unten links KachelX 29798 KachelY + 1 44711 -0.28474518 -0.95462632 -16.314697 -54.696059
    Unten rechts KachelX + 1 29799 KachelY + 1 44711 -0.28464931 -0.95462632 -16.309204 -54.696059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95457091--0.95462632) × R
    5.5409999999978e-05 × 6371000     		dl = 353.01710999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95457091--0.95462632) × R
    5.5409999999978e-05 × 6371000     		dr = 353.01710999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28474518--0.28464931) × cos(-0.95457091) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.577958976740591 × 6371000     		do = 353.01027455486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28474518--0.28464931) × cos(-0.95462632) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.57791375764633 × 6371000     		du = 352.982655285115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95457091)-sin(-0.95462632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577958976740591-0.57791375764633)×R²
    abs(-0.28464931--0.28474518)×4.52190942611397e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.52190942611397e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.52190942611397e-05×40589641000000     		ar = 124613.791918454m²