Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29784 / 44730
↖ ↑ ↗
← S 54.756331°
W 16.391602°		 ← 352.49 m → S 54.756331°
W 16.386108°		 →
↑
352.44 m
↓
↑
352.44 m
↓
S 54.759501°
W 16.391602°		 ← 352.47 m →
124 230 m²		 S 54.759501°
W 16.386108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454475402832031 y=0.682533264160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454475402832031 × 216)
    floor (0.454475402832031 × 65536)
    floor (29784.5)     		tx = 29784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682533264160156 × 216)
    floor (0.682533264160156 × 65536)
    floor (44730.5)     		ty = 44730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29784 / 44730 ti = "16/29784/44730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29784/44730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29784 ÷ 216
    29784 ÷ 65536     		x = 0.4544677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44730 ÷ 216
    44730 ÷ 65536     		y = 0.682525634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4544677734375 × 2 - 1) × π
    -0.091064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28608742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682525634765625 × 2 - 1) × π
    -0.36505126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.14684238651022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28608742} λ = -0.28608742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14684238651022))-π/2
    2×atan(0.317638166093253)-π/2
    2×0.307559030690838-π/2
    0.615118061381675-1.57079632675     		φ = -0.95567827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28608742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.391602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95567827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.756331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29784 KachelY 44730 -0.28608742 -0.95567827 -16.391602 -54.756331
    Oben rechts KachelX + 1 29785 KachelY 44730 -0.28599154 -0.95567827 -16.386108 -54.756331
    Unten links KachelX 29784 KachelY + 1 44731 -0.28608742 -0.95573359 -16.391602 -54.759501
    Unten rechts KachelX + 1 29785 KachelY + 1 44731 -0.28599154 -0.95573359 -16.386108 -54.759501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95567827--0.95573359) × R
    5.53199999999698e-05 × 6371000     		dl = 352.443719999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95567827--0.95573359) × R
    5.53199999999698e-05 × 6371000     		dr = 352.443719999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28608742--0.28599154) × cos(-0.95567827) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.577054943919818 × 6371000     		do = 352.494866534711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28608742--0.28599154) × cos(-0.95573359) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.577009762898151 × 6371000     		du = 352.467267640758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95567827)-sin(-0.95573359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577054943919818-0.577009762898151)×R²
    abs(-0.28599154--0.28608742)×4.51810216663961e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.51810216663961e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.51810216663961e-05×40589641000000     		ar = 124229.738545501m²