Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29769 / 44726
↖ ↑ ↗
← S 54.743650°
W 16.473999°		 ← 352.57 m → S 54.743650°
W 16.468506°		 →
↑
352.57 m
↓
↑
352.57 m
↓
S 54.746820°
W 16.473999°		 ← 352.54 m →
124 301 m²		 S 54.746820°
W 16.468506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454246520996094 y=0.682472229003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454246520996094 × 216)
    floor (0.454246520996094 × 65536)
    floor (29769.5)     		tx = 29769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682472229003906 × 216)
    floor (0.682472229003906 × 65536)
    floor (44726.5)     		ty = 44726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29769 / 44726 ti = "16/29769/44726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29769/44726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29769 ÷ 216
    29769 ÷ 65536     		x = 0.454238891601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44726 ÷ 216
    44726 ÷ 65536     		y = 0.682464599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454238891601562 × 2 - 1) × π
    -0.091522216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28752552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682464599609375 × 2 - 1) × π
    -0.36492919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.14645889131326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28752552} λ = -0.28752552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14645889131326))-π/2
    2×atan(0.317760002164602)-π/2
    2×0.307669696919909-π/2
    0.615339393839818-1.57079632675     		φ = -0.95545693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28752552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.473999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95545693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.743650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29769 KachelY 44726 -0.28752552 -0.95545693 -16.473999 -54.743650
    Oben rechts KachelX + 1 29770 KachelY 44726 -0.28742965 -0.95545693 -16.468506 -54.743650
    Unten links KachelX 29769 KachelY + 1 44727 -0.28752552 -0.95551227 -16.473999 -54.746820
    Unten rechts KachelX + 1 29770 KachelY + 1 44727 -0.28742965 -0.95551227 -16.468506 -54.746820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95545693--0.95551227) × R
    5.53400000000703e-05 × 6371000     		dl = 352.571140000448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95545693--0.95551227) × R
    5.53400000000703e-05 × 6371000     		dr = 352.571140000448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28752552--0.28742965) × cos(-0.95545693) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.577235699340131 × 6371000     		do = 352.568505564341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28752552--0.28742965) × cos(-0.95551227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.57719050905287 × 6371000     		du = 352.540903889559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95545693)-sin(-0.95551227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577235699340131-0.57719050905287)×R²
    abs(-0.28742965--0.28752552)×4.519028726091e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.519028726091e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.519028726091e-05×40589641000000     		ar = 124300.614189801m²