Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29727 / 44743
↖ ↑ ↗
← S 54.797519°
W 16.704712°		 ← 352.10 m → S 54.797519°
W 16.699219°		 →
↑
352.06 m
↓
↑
352.06 m
↓
S 54.800685°
W 16.704712°		 ← 352.07 m →
123 956 m²		 S 54.800685°
W 16.699219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453605651855469 y=0.682731628417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453605651855469 × 216)
    floor (0.453605651855469 × 65536)
    floor (29727.5)     		tx = 29727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682731628417969 × 216)
    floor (0.682731628417969 × 65536)
    floor (44743.5)     		ty = 44743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29727 / 44743 ti = "16/29727/44743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29727/44743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29727 ÷ 216
    29727 ÷ 65536     		x = 0.453598022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44743 ÷ 216
    44743 ÷ 65536     		y = 0.682723999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453598022460938 × 2 - 1) × π
    -0.092803955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29155222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682723999023438 × 2 - 1) × π
    -0.365447998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.14808874590034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29155222} λ = -0.29155222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14808874590034))-π/2
    2×atan(0.317242521391243)-π/2
    2×0.307199604757861-π/2
    0.614399209515721-1.57079632675     		φ = -0.95639712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29155222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.704712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95639712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.797519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29727 KachelY 44743 -0.29155222 -0.95639712 -16.704712 -54.797519
    Oben rechts KachelX + 1 29728 KachelY 44743 -0.29145635 -0.95639712 -16.699219 -54.797519
    Unten links KachelX 29727 KachelY + 1 44744 -0.29155222 -0.95645238 -16.704712 -54.800685
    Unten rechts KachelX + 1 29728 KachelY + 1 44744 -0.29145635 -0.95645238 -16.699219 -54.800685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95639712--0.95645238) × R
    5.52600000000014e-05 × 6371000     		dl = 352.061460000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95639712--0.95645238) × R
    5.52600000000014e-05 × 6371000     		dr = 352.061460000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29155222--0.29145635) × cos(-0.95639712) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.57646770625061 × 6371000     		do = 352.099424777818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29155222--0.29145635) × cos(-0.95645238) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.576422551323008 × 6371000     		du = 352.071844700283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95639712)-sin(-0.95645238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57646770625061-0.576422551323008)×R²
    abs(-0.29145635--0.29155222)×4.51549276024865e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.51549276024865e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.51549276024865e-05×40589641000000     		ar = 123955.782642637m²