Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29661 / 45097
↖ ↑ ↗
← S 55.903035°
W 17.067260°		 ← 342.40 m → S 55.903035°
W 17.061768°		 →
↑
342.44 m
↓
↑
342.44 m
↓
S 55.906115°
W 17.067260°		 ← 342.38 m →
117 249 m²		 S 55.906115°
W 17.061768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452598571777344 y=0.688133239746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452598571777344 × 216)
    floor (0.452598571777344 × 65536)
    floor (29661.5)     		tx = 29661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688133239746094 × 216)
    floor (0.688133239746094 × 65536)
    floor (45097.5)     		ty = 45097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29661 / 45097 ti = "16/29661/45097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29661/45097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29661 ÷ 216
    29661 ÷ 65536     		x = 0.452590942382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45097 ÷ 216
    45097 ÷ 65536     		y = 0.688125610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452590942382812 × 2 - 1) × π
    -0.094818115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29787989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688125610351562 × 2 - 1) × π
    -0.376251220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.18202807083134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29787989} λ = -0.29787989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18202807083134))-π/2
    2×atan(0.306656187056979)-π/2
    2×0.297552145930908-π/2
    0.595104291861816-1.57079632675     		φ = -0.97569203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29787989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.067260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97569203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.903035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29661 KachelY 45097 -0.29787989 -0.97569203 -17.067260 -55.903035
    Oben rechts KachelX + 1 29662 KachelY 45097 -0.29778402 -0.97569203 -17.061768 -55.903035
    Unten links KachelX 29661 KachelY + 1 45098 -0.29787989 -0.97574578 -17.067260 -55.906115
    Unten rechts KachelX + 1 29662 KachelY + 1 45098 -0.29778402 -0.97574578 -17.061768 -55.906115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97569203--0.97574578) × R
    5.37499999999635e-05 × 6371000     		dl = 342.441249999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97569203--0.97574578) × R
    5.37499999999635e-05 × 6371000     		dr = 342.441249999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29787989--0.29778402) × cos(-0.97569203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.560595124684158 × 6371000     		do = 342.404646078701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29787989--0.29778402) × cos(-0.97574578) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.560550614034997 × 6371000     		du = 342.377459518559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97569203)-sin(-0.97574578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560595124684158-0.560550614034997)×R²
    abs(-0.29778402--0.29787989)×4.45106491606673e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.45106491606673e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.45106491606673e-05×40589641000000     		ar = 117248.820137306m²