Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29647 / 44816
↖ ↑ ↗
← S 55.028022°
W 17.144165°		 ← 350.13 m → S 55.028022°
W 17.138672°		 →
↑
350.09 m
↓
↑
350.09 m
↓
S 55.031171°
W 17.144165°		 ← 350.10 m →
122 569 m²		 S 55.031171°
W 17.138672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452384948730469 y=0.683845520019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452384948730469 × 216)
    floor (0.452384948730469 × 65536)
    floor (29647.5)     		tx = 29647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683845520019531 × 216)
    floor (0.683845520019531 × 65536)
    floor (44816.5)     		ty = 44816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29647 / 44816 ti = "16/29647/44816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29647/44816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29647 ÷ 216
    29647 ÷ 65536     		x = 0.452377319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44816 ÷ 216
    44816 ÷ 65536     		y = 0.683837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452377319335938 × 2 - 1) × π
    -0.095245361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29922213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683837890625 × 2 - 1) × π
    -0.36767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.15508753324487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29922213} λ = -0.29922213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15508753324487))-π/2
    2×atan(0.315029960101848)-π/2
    2×0.305188080040927-π/2
    0.610376160081853-1.57079632675     		φ = -0.96042017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29922213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.144165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96042017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.028022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29647 KachelY 44816 -0.29922213 -0.96042017 -17.144165 -55.028022
    Oben rechts KachelX + 1 29648 KachelY 44816 -0.29912625 -0.96042017 -17.138672 -55.028022
    Unten links KachelX 29647 KachelY + 1 44817 -0.29922213 -0.96047512 -17.144165 -55.031171
    Unten rechts KachelX + 1 29648 KachelY + 1 44817 -0.29912625 -0.96047512 -17.138672 -55.031171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96042017--0.96047512) × R
    5.49499999999981e-05 × 6371000     		dl = 350.086449999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96042017--0.96047512) × R
    5.49499999999981e-05 × 6371000     		dr = 350.086449999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29922213--0.29912625) × cos(-0.96042017) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.573175735735912 × 6371000     		do = 350.125246474344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29922213--0.29912625) × cos(-0.96047512) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.573130707056252 × 6371000     		du = 350.097740638731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96042017)-sin(-0.96047512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573175735735912-0.573130707056252)×R²
    abs(-0.29912625--0.29922213)×4.50286796596089e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.50286796596089e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.50286796596089e-05×40589641000000     		ar = 122569.289914003m²