Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29624 / 44840
↖ ↑ ↗
← S 55.103516°
W 17.270508°		 ← 349.43 m → S 55.103516°
W 17.265015°		 →
↑
349.45 m
↓
↑
349.45 m
↓
S 55.106658°
W 17.270508°		 ← 349.40 m →
122 103 m²		 S 55.106658°
W 17.265015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452033996582031 y=0.684211730957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452033996582031 × 216)
    floor (0.452033996582031 × 65536)
    floor (29624.5)     		tx = 29624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684211730957031 × 216)
    floor (0.684211730957031 × 65536)
    floor (44840.5)     		ty = 44840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29624 / 44840 ti = "16/29624/44840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29624/44840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29624 ÷ 216
    29624 ÷ 65536     		x = 0.4520263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44840 ÷ 216
    44840 ÷ 65536     		y = 0.6842041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4520263671875 × 2 - 1) × π
    -0.095947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30142722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6842041015625 × 2 - 1) × π
    -0.368408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.15738850442664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30142722} λ = -0.30142722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15738850442664))-π/2
    2×atan(0.314305918561072)-π/2
    2×0.304529271087906-π/2
    0.609058542175812-1.57079632675     		φ = -0.96173778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30142722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.270508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96173778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.103516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29624 KachelY 44840 -0.30142722 -0.96173778 -17.270508 -55.103516
    Oben rechts KachelX + 1 29625 KachelY 44840 -0.30133135 -0.96173778 -17.265015 -55.103516
    Unten links KachelX 29624 KachelY + 1 44841 -0.30142722 -0.96179263 -17.270508 -55.106658
    Unten rechts KachelX + 1 29625 KachelY + 1 44841 -0.30133135 -0.96179263 -17.265015 -55.106658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96173778--0.96179263) × R
    5.48500000000507e-05 × 6371000     		dl = 349.449350000323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96173778--0.96179263) × R
    5.48500000000507e-05 × 6371000     		dr = 349.449350000323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30142722--0.30133135) × cos(-0.96173778) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.572095546085041 × 6371000     		do = 349.428962820207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30142722--0.30133135) × cos(-0.96179263) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.572050557968496 × 6371000     		du = 349.401484628826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96173778)-sin(-0.96179263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572095546085041-0.572050557968496)×R²
    abs(-0.30133135--0.30142722)×4.4988116545075e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4988116545075e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4988116545075e-05×40589641000000     		ar = 122102.922841384m²