Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29623 / 43443
↖ ↑ ↗
← S 50.467994°
W 17.276001°		 ← 388.81 m → S 50.467994°
W 17.270508°		 →
↑
388.76 m
↓
↑
388.76 m
↓
S 50.471491°
W 17.276001°		 ← 388.78 m →
151 149 m²		 S 50.471491°
W 17.270508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452018737792969 y=0.662895202636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452018737792969 × 216)
    floor (0.452018737792969 × 65536)
    floor (29623.5)     		tx = 29623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662895202636719 × 216)
    floor (0.662895202636719 × 65536)
    floor (43443.5)     		ty = 43443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29623 / 43443 ti = "16/29623/43443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29623/43443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29623 ÷ 216
    29623 ÷ 65536     		x = 0.452011108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43443 ÷ 216
    43443 ÷ 65536     		y = 0.662887573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452011108398438 × 2 - 1) × π
    -0.095977783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30152310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662887573242188 × 2 - 1) × π
    -0.325775146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0234528068882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30152310} λ = -0.30152310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0234528068882))-π/2
    2×atan(0.35935202249199)-π/2
    2×0.344981827680386-π/2
    0.689963655360772-1.57079632675     		φ = -0.88083267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30152310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.276001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88083267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.467994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29623 KachelY 43443 -0.30152310 -0.88083267 -17.276001 -50.467994
    Oben rechts KachelX + 1 29624 KachelY 43443 -0.30142722 -0.88083267 -17.270508 -50.467994
    Unten links KachelX 29623 KachelY + 1 43444 -0.30152310 -0.88089369 -17.276001 -50.471491
    Unten rechts KachelX + 1 29624 KachelY + 1 43444 -0.30142722 -0.88089369 -17.270508 -50.471491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88083267--0.88089369) × R
    6.10199999999672e-05 × 6371000     		dl = 388.758419999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88083267--0.88089369) × R
    6.10199999999672e-05 × 6371000     		dr = 388.758419999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30152310--0.30142722) × cos(-0.88083267) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.636509152249488 × 6371000     		do = 388.812557685115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30152310--0.30142722) × cos(-0.88089369) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.636462088221086 × 6371000     		du = 388.783808553711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88083267)-sin(-0.88089369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636509152249488-0.636462088221086)×R²
    abs(-0.30142722--0.30152310)×4.70640284012669e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.70640284012669e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.70640284012669e-05×40589641000000     		ar = 151148.567415245m²