Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29619 / 44933
↖ ↑ ↗
← S 55.394712°
W 17.297973°		 ← 346.88 m → S 55.394712°
W 17.292480°		 →
↑
346.90 m
↓
↑
346.90 m
↓
S 55.397832°
W 17.297973°		 ← 346.85 m →
120 328 m²		 S 55.397832°
W 17.292480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451957702636719 y=0.685630798339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451957702636719 × 216)
    floor (0.451957702636719 × 65536)
    floor (29619.5)     		tx = 29619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685630798339844 × 216)
    floor (0.685630798339844 × 65536)
    floor (44933.5)     		ty = 44933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29619 / 44933 ti = "16/29619/44933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29619/44933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29619 ÷ 216
    29619 ÷ 65536     		x = 0.451950073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44933 ÷ 216
    44933 ÷ 65536     		y = 0.685623168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451950073242188 × 2 - 1) × π
    -0.096099853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30190659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685623168945312 × 2 - 1) × π
    -0.371246337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.16630476775597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30190659} λ = -0.30190659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16630476775597))-π/2
    2×atan(0.311515940796949)-π/2
    2×0.301988107927707-π/2
    0.603976215855414-1.57079632675     		φ = -0.96682011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30190659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.297973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96682011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.394712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29619 KachelY 44933 -0.30190659 -0.96682011 -17.297973 -55.394712
    Oben rechts KachelX + 1 29620 KachelY 44933 -0.30181072 -0.96682011 -17.292480 -55.394712
    Unten links KachelX 29619 KachelY + 1 44934 -0.30190659 -0.96687456 -17.297973 -55.397832
    Unten rechts KachelX + 1 29620 KachelY + 1 44934 -0.30181072 -0.96687456 -17.292480 -55.397832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96682011--0.96687456) × R
    5.44500000000392e-05 × 6371000     		dl = 346.90095000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96682011--0.96687456) × R
    5.44500000000392e-05 × 6371000     		dr = 346.90095000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30190659--0.30181072) × cos(-0.96682011) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.567919714503426 × 6371000     		do = 346.878415960577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30190659--0.30181072) × cos(-0.96687456) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.567874896740184 × 6371000     		du = 346.851041818909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96682011)-sin(-0.96687456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567919714503426-0.567874896740184)×R²
    abs(-0.30181072--0.30190659)×4.48177632422775e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.48177632422775e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.48177632422775e-05×40589641000000     		ar = 120327.704002827m²