Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29605 / 44509
↖ ↑ ↗
← S 54.049714°
W 17.374878°		 ← 358.62 m → S 54.049714°
W 17.369385°		 →
↑
358.62 m
↓
↑
358.62 m
↓
S 54.052939°
W 17.374878°		 ← 358.59 m →
128 605 m²		 S 54.052939°
W 17.369385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451744079589844 y=0.679161071777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451744079589844 × 216)
    floor (0.451744079589844 × 65536)
    floor (29605.5)     		tx = 29605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679161071777344 × 216)
    floor (0.679161071777344 × 65536)
    floor (44509.5)     		ty = 44509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29605 / 44509 ti = "16/29605/44509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29605/44509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29605 ÷ 216
    29605 ÷ 65536     		x = 0.451736450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44509 ÷ 216
    44509 ÷ 65536     		y = 0.679153442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451736450195312 × 2 - 1) × π
    -0.096527099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30324883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679153442382812 × 2 - 1) × π
    -0.358306884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.12565427687816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30324883} λ = -0.30324883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12565427687816))-π/2
    2×atan(0.324440124228695)-π/2
    2×0.313725427287073-π/2
    0.627450854574146-1.57079632675     		φ = -0.94334547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30324883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.374878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94334547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.049714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29605 KachelY 44509 -0.30324883 -0.94334547 -17.374878 -54.049714
    Oben rechts KachelX + 1 29606 KachelY 44509 -0.30315295 -0.94334547 -17.369385 -54.049714
    Unten links KachelX 29605 KachelY + 1 44510 -0.30324883 -0.94340176 -17.374878 -54.052939
    Unten rechts KachelX + 1 29606 KachelY + 1 44510 -0.30315295 -0.94340176 -17.369385 -54.052939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94334547--0.94340176) × R
    5.62899999999589e-05 × 6371000     		dl = 358.623589999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94334547--0.94340176) × R
    5.62899999999589e-05 × 6371000     		dr = 358.623589999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30324883--0.30315295) × cos(-0.94334547) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.587083068171808 × 6371000     		do = 358.62056107587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30324883--0.30315295) × cos(-0.94340176) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.587037498984025 × 6371000     		du = 358.592725070071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94334547)-sin(-0.94340176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587083068171808-0.587037498984025)×R²
    abs(-0.30315295--0.30324883)×4.55691877825348e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.55691877825348e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.55691877825348e-05×40589641000000     		ar = 128604.80177078m²