Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29561 / 44851
↖ ↑ ↗
← S 55.138070°
W 17.616577°		 ← 349.13 m → S 55.138070°
W 17.611084°		 →
↑
349.13 m
↓
↑
349.13 m
↓
S 55.141210°
W 17.616577°		 ← 349.10 m →
121 886 m²		 S 55.141210°
W 17.611084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451072692871094 y=0.684379577636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451072692871094 × 216)
    floor (0.451072692871094 × 65536)
    floor (29561.5)     		tx = 29561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684379577636719 × 216)
    floor (0.684379577636719 × 65536)
    floor (44851.5)     		ty = 44851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29561 / 44851 ti = "16/29561/44851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29561/44851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29561 ÷ 216
    29561 ÷ 65536     		x = 0.451065063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44851 ÷ 216
    44851 ÷ 65536     		y = 0.684371948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451065063476562 × 2 - 1) × π
    -0.097869873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30746727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684371948242188 × 2 - 1) × π
    -0.368743896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.15844311621828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30746727} λ = -0.30746727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15844311621828))-π/2
    2×atan(0.313974622558217)-π/2
    2×0.30422773218496-π/2
    0.608455464369921-1.57079632675     		φ = -0.96234086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30746727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.616577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96234086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.138070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29561 KachelY 44851 -0.30746727 -0.96234086 -17.616577 -55.138070
    Oben rechts KachelX + 1 29562 KachelY 44851 -0.30737140 -0.96234086 -17.611084 -55.138070
    Unten links KachelX 29561 KachelY + 1 44852 -0.30746727 -0.96239566 -17.616577 -55.141210
    Unten rechts KachelX + 1 29562 KachelY + 1 44852 -0.30737140 -0.96239566 -17.611084 -55.141210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96234086--0.96239566) × R
    5.48000000000215e-05 × 6371000     		dl = 349.130800000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96234086--0.96239566) × R
    5.48000000000215e-05 × 6371000     		dr = 349.130800000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30746727--0.30737140) × cos(-0.96234086) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.571600803712519 × 6371000     		do = 349.12678022977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30746727--0.30737140) × cos(-0.96239566) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.571555837708747 × 6371000     		du = 349.0993155446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96234086)-sin(-0.96239566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571600803712519-0.571555837708747)×R²
    abs(-0.30737140--0.30746727)×4.49660037721289e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.49660037721289e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.49660037721289e-05×40589641000000     		ar = 121886.11772982m²