Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29559 / 44922
↖ ↑ ↗
← S 55.360381°
W 17.627563°		 ← 347.18 m → S 55.360381°
W 17.622070°		 →
↑
347.16 m
↓
↑
347.16 m
↓
S 55.363503°
W 17.627563°		 ← 347.15 m →
120 521 m²		 S 55.363503°
W 17.622070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451042175292969 y=0.685462951660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451042175292969 × 216)
    floor (0.451042175292969 × 65536)
    floor (29559.5)     		tx = 29559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685462951660156 × 216)
    floor (0.685462951660156 × 65536)
    floor (44922.5)     		ty = 44922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29559 / 44922 ti = "16/29559/44922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29559/44922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29559 ÷ 216
    29559 ÷ 65536     		x = 0.451034545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44922 ÷ 216
    44922 ÷ 65536     		y = 0.685455322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451034545898438 × 2 - 1) × π
    -0.097930908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30765902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685455322265625 × 2 - 1) × π
    -0.37091064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16525015596432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30765902} λ = -0.30765902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16525015596432))-π/2
    2×atan(0.311844642477267)-π/2
    2×0.302287705334757-π/2
    0.604575410669513-1.57079632675     		φ = -0.96622092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30765902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.627563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96622092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.360381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29559 KachelY 44922 -0.30765902 -0.96622092 -17.627563 -55.360381
    Oben rechts KachelX + 1 29560 KachelY 44922 -0.30756315 -0.96622092 -17.622070 -55.360381
    Unten links KachelX 29559 KachelY + 1 44923 -0.30765902 -0.96627541 -17.627563 -55.363503
    Unten rechts KachelX + 1 29560 KachelY + 1 44923 -0.30756315 -0.96627541 -17.622070 -55.363503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96622092--0.96627541) × R
    5.44899999999071e-05 × 6371000     		dl = 347.155789999408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96622092--0.96627541) × R
    5.44899999999071e-05 × 6371000     		dr = 347.155789999408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30765902--0.30756315) × cos(-0.96622092) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.568412796199516 × 6371000     		do = 347.179584230159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30765902--0.30756315) × cos(-0.96627541) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.568367964061497 × 6371000     		du = 347.152201308554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96622092)-sin(-0.96627541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568412796199516-0.568367964061497)×R²
    abs(-0.30756315--0.30765902)×4.48321380187577e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.48321380187577e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.48321380187577e-05×40589641000000     		ar = 120520.649794779m²