Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29555 / 44853
↖ ↑ ↗
← S 55.144349°
W 17.649536°		 ← 349.11 m → S 55.144349°
W 17.644043°		 →
↑
349.07 m
↓
↑
349.07 m
↓
S 55.147489°
W 17.649536°		 ← 349.08 m →
121 857 m²		 S 55.147489°
W 17.644043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450981140136719 y=0.684410095214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450981140136719 × 216)
    floor (0.450981140136719 × 65536)
    floor (29555.5)     		tx = 29555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684410095214844 × 216)
    floor (0.684410095214844 × 65536)
    floor (44853.5)     		ty = 44853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29555 / 44853 ti = "16/29555/44853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29555/44853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29555 ÷ 216
    29555 ÷ 65536     		x = 0.450973510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44853 ÷ 216
    44853 ÷ 65536     		y = 0.684402465820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450973510742188 × 2 - 1) × π
    -0.098052978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30804252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684402465820312 × 2 - 1) × π
    -0.368804931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.15863486381676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30804252} λ = -0.30804252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15863486381676))-π/2
    2×atan(0.313914424449963)-π/2
    2×0.304172934955435-π/2
    0.608345869910869-1.57079632675     		φ = -0.96245046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30804252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.649536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96245046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.144349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29555 KachelY 44853 -0.30804252 -0.96245046 -17.649536 -55.144349
    Oben rechts KachelX + 1 29556 KachelY 44853 -0.30794664 -0.96245046 -17.644043 -55.144349
    Unten links KachelX 29555 KachelY + 1 44854 -0.30804252 -0.96250525 -17.649536 -55.147489
    Unten rechts KachelX + 1 29556 KachelY + 1 44854 -0.30794664 -0.96250525 -17.644043 -55.147489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96245046--0.96250525) × R
    5.47899999999713e-05 × 6371000     		dl = 349.067089999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96245046--0.96250525) × R
    5.47899999999713e-05 × 6371000     		dr = 349.067089999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30804252--0.30794664) × cos(-0.96245046) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.57151086998857 × 6371000     		do = 349.108260768579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30804252--0.30794664) × cos(-0.96250525) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.571465908758381 × 6371000     		du = 349.080796134575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96245046)-sin(-0.96250525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57151086998857-0.571465908758381)×R²
    abs(-0.30794664--0.30804252)×4.49612301890445e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.49612301890445e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.49612301890445e-05×40589641000000     		ar = 121857.411212077m²