Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29553 / 44855
↖ ↑ ↗
← S 55.150627°
W 17.660522°		 ← 349.02 m → S 55.150627°
W 17.655029°		 →
↑
349.07 m
↓
↑
349.07 m
↓
S 55.153766°
W 17.660522°		 ← 348.99 m →
121 826 m²		 S 55.153766°
W 17.655029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450950622558594 y=0.684440612792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450950622558594 × 216)
    floor (0.450950622558594 × 65536)
    floor (29553.5)     		tx = 29553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684440612792969 × 216)
    floor (0.684440612792969 × 65536)
    floor (44855.5)     		ty = 44855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29553 / 44855 ti = "16/29553/44855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29553/44855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29553 ÷ 216
    29553 ÷ 65536     		x = 0.450942993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44855 ÷ 216
    44855 ÷ 65536     		y = 0.684432983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450942993164062 × 2 - 1) × π
    -0.098114013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30823426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684432983398438 × 2 - 1) × π
    -0.368865966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.15882661141524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30823426} λ = -0.30823426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15882661141524))-π/2
    2×atan(0.313854237883446)-π/2
    2×0.304118146347412-π/2
    0.608236292694823-1.57079632675     		φ = -0.96256003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30823426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.660522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96256003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.150627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29553 KachelY 44855 -0.30823426 -0.96256003 -17.660522 -55.150627
    Oben rechts KachelX + 1 29554 KachelY 44855 -0.30813839 -0.96256003 -17.655029 -55.150627
    Unten links KachelX 29553 KachelY + 1 44856 -0.30823426 -0.96261482 -17.660522 -55.153766
    Unten rechts KachelX + 1 29554 KachelY + 1 44856 -0.30813839 -0.96261482 -17.655029 -55.153766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96256003--0.96261482) × R
    5.47899999999713e-05 × 6371000     		dl = 349.067089999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96256003--0.96261482) × R
    5.47899999999713e-05 × 6371000     		dr = 349.067089999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30823426--0.30813839) × cos(-0.96256003) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.571420954019254 × 6371000     		do = 349.016930236685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30823426--0.30813839) × cos(-0.96261482) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.571375989358495 × 6371000     		du = 348.989466371812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96256003)-sin(-0.96261482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571420954019254-0.571375989358495)×R²
    abs(-0.30813839--0.30823426)×4.49646607585397e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.49646607585397e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.49646607585397e-05×40589641000000     		ar = 121825.530862984m²