Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29549 / 45149
↖ ↑ ↗
← S 56.062836°
W 17.682495°		 ← 340.99 m → S 56.062836°
W 17.677002°		 →
↑
340.98 m
↓
↑
340.98 m
↓
S 56.065903°
W 17.682495°		 ← 340.97 m →
116 266 m²		 S 56.065903°
W 17.677002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450889587402344 y=0.688926696777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450889587402344 × 216)
    floor (0.450889587402344 × 65536)
    floor (29549.5)     		tx = 29549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688926696777344 × 216)
    floor (0.688926696777344 × 65536)
    floor (45149.5)     		ty = 45149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29549 / 45149 ti = "16/29549/45149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29549/45149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29549 ÷ 216
    29549 ÷ 65536     		x = 0.450881958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45149 ÷ 216
    45149 ÷ 65536     		y = 0.688919067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450881958007812 × 2 - 1) × π
    -0.098236083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30861776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688919067382812 × 2 - 1) × π
    -0.377838134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.18701350839183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30861776} λ = -0.30861776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18701350839183))-π/2
    2×atan(0.305131176365286)-π/2
    2×0.296157622309388-π/2
    0.592315244618775-1.57079632675     		φ = -0.97848108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30861776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.682495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97848108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.062836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29549 KachelY 45149 -0.30861776 -0.97848108 -17.682495 -56.062836
    Oben rechts KachelX + 1 29550 KachelY 45149 -0.30852189 -0.97848108 -17.677002 -56.062836
    Unten links KachelX 29549 KachelY + 1 45150 -0.30861776 -0.97853460 -17.682495 -56.065903
    Unten rechts KachelX + 1 29550 KachelY + 1 45150 -0.30852189 -0.97853460 -17.677002 -56.065903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97848108--0.97853460) × R
    5.35200000000291e-05 × 6371000     		dl = 340.975920000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97848108--0.97853460) × R
    5.35200000000291e-05 × 6371000     		dr = 340.975920000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30861776--0.30852189) × cos(-0.97848108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55828336278891 × 6371000     		do = 340.992650185932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30861776--0.30852189) × cos(-0.97853460) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558238959103158 × 6371000     		du = 340.965528957732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97848108)-sin(-0.97853460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55828336278891-0.558238959103158)×R²
    abs(-0.30852189--0.30861776)×4.44036857519814e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44036857519814e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44036857519814e-05×40589641000000     		ar = 116265.658795021m²