Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29548 / 45128
↖ ↑ ↗
← S 55.998381°
W 17.687988°		 ← 341.56 m → S 55.998381°
W 17.682495°		 →
↑
341.61 m
↓
↑
341.61 m
↓
S 56.001453°
W 17.687988°		 ← 341.54 m →
116 678 m²		 S 56.001453°
W 17.682495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450874328613281 y=0.688606262207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450874328613281 × 216)
    floor (0.450874328613281 × 65536)
    floor (29548.5)     		tx = 29548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688606262207031 × 216)
    floor (0.688606262207031 × 65536)
    floor (45128.5)     		ty = 45128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29548 / 45128 ti = "16/29548/45128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29548/45128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29548 ÷ 216
    29548 ÷ 65536     		x = 0.45086669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45128 ÷ 216
    45128 ÷ 65536     		y = 0.6885986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45086669921875 × 2 - 1) × π
    -0.0982666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30871363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6885986328125 × 2 - 1) × π
    -0.377197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.18500015860779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30871363} λ = -0.30871363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18500015860779))-π/2
    2×atan(0.30574613100499)-π/2
    2×0.296720101678362-π/2
    0.593440203356724-1.57079632675     		φ = -0.97735612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30871363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.687988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97735612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.998381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29548 KachelY 45128 -0.30871363 -0.97735612 -17.687988 -55.998381
    Oben rechts KachelX + 1 29549 KachelY 45128 -0.30861776 -0.97735612 -17.682495 -55.998381
    Unten links KachelX 29548 KachelY + 1 45129 -0.30871363 -0.97740974 -17.687988 -56.001453
    Unten rechts KachelX + 1 29549 KachelY + 1 45129 -0.30861776 -0.97740974 -17.682495 -56.001453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97735612--0.97740974) × R
    5.36199999999765e-05 × 6371000     		dl = 341.61301999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97735612--0.97740974) × R
    5.36199999999765e-05 × 6371000     		dr = 341.61301999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30871363--0.30861776) × cos(-0.97735612) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.559216332775123 × 6371000     		do = 341.562496843287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30871363--0.30861776) × cos(-0.97740974) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.559171879823998 × 6371000     		du = 341.5353455244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97735612)-sin(-0.97740974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559216332775123-0.559171879823998)×R²
    abs(-0.30861776--0.30871363)×4.44529511248737e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44529511248737e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44529511248737e-05×40589641000000     		ar = 116677.558471152m²