Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29541 / 44644
↖ ↑ ↗
← S 54.482805°
W 17.726440°		 ← 354.84 m → S 54.482805°
W 17.720947°		 →
↑
354.80 m
↓
↑
354.80 m
↓
S 54.485996°
W 17.726440°		 ← 354.81 m →
125 891 m²		 S 54.485996°
W 17.720947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450767517089844 y=0.681221008300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450767517089844 × 216)
    floor (0.450767517089844 × 65536)
    floor (29541.5)     		tx = 29541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681221008300781 × 216)
    floor (0.681221008300781 × 65536)
    floor (44644.5)     		ty = 44644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29541 / 44644 ti = "16/29541/44644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29541/44644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29541 ÷ 216
    29541 ÷ 65536     		x = 0.450759887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44644 ÷ 216
    44644 ÷ 65536     		y = 0.68121337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450759887695312 × 2 - 1) × π
    -0.098480224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30938475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68121337890625 × 2 - 1) × π
    -0.3624267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13859723977557
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30938475} λ = -0.30938475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13859723977557))-π/2
    2×atan(0.320267966026046)-π/2
    2×0.309946000764254-π/2
    0.619892001528508-1.57079632675     		φ = -0.95090433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30938475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.726440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95090433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.482805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29541 KachelY 44644 -0.30938475 -0.95090433 -17.726440 -54.482805
    Oben rechts KachelX + 1 29542 KachelY 44644 -0.30928888 -0.95090433 -17.720947 -54.482805
    Unten links KachelX 29541 KachelY + 1 44645 -0.30938475 -0.95096002 -17.726440 -54.485996
    Unten rechts KachelX + 1 29542 KachelY + 1 44645 -0.30928888 -0.95096002 -17.720947 -54.485996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95090433--0.95096002) × R
    5.56900000000526e-05 × 6371000     		dl = 354.800990000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95090433--0.95096002) × R
    5.56900000000526e-05 × 6371000     		dr = 354.800990000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30938475--0.30928888) × cos(-0.95090433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580947255666794 × 6371000     		do = 354.835478776333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30938475--0.30928888) × cos(-0.95096002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580901926380211 × 6371000     		du = 354.807792202465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95090433)-sin(-0.95096002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580947255666794-0.580901926380211)×R²
    abs(-0.30928888--0.30938475)×4.53292865829624e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53292865829624e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53292865829624e-05×40589641000000     		ar = 125891.067577929m²