Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29539 / 44643
↖ ↑ ↗
← S 54.479613°
W 17.737427°		 ← 354.90 m → S 54.479613°
W 17.731933°		 →
↑
354.86 m
↓
↑
354.86 m
↓
S 54.482805°
W 17.737427°		 ← 354.87 m →
125 937 m²		 S 54.482805°
W 17.731933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450736999511719 y=0.681205749511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450736999511719 × 216)
    floor (0.450736999511719 × 65536)
    floor (29539.5)     		tx = 29539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681205749511719 × 216)
    floor (0.681205749511719 × 65536)
    floor (44643.5)     		ty = 44643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29539 / 44643 ti = "16/29539/44643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29539/44643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29539 ÷ 216
    29539 ÷ 65536     		x = 0.450729370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44643 ÷ 216
    44643 ÷ 65536     		y = 0.681198120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450729370117188 × 2 - 1) × π
    -0.098541259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30957650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681198120117188 × 2 - 1) × π
    -0.362396240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13850136597633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30957650} λ = -0.30957650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13850136597633))-π/2
    2×atan(0.320298672804688)-π/2
    2×0.309973850661332-π/2
    0.619947701322664-1.57079632675     		φ = -0.95084863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30957650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.737427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95084863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.479613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29539 KachelY 44643 -0.30957650 -0.95084863 -17.737427 -54.479613
    Oben rechts KachelX + 1 29540 KachelY 44643 -0.30948062 -0.95084863 -17.731933 -54.479613
    Unten links KachelX 29539 KachelY + 1 44644 -0.30957650 -0.95090433 -17.737427 -54.482805
    Unten rechts KachelX + 1 29540 KachelY + 1 44644 -0.30948062 -0.95090433 -17.731933 -54.482805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95084863--0.95090433) × R
    5.56999999999919e-05 × 6371000     		dl = 354.864699999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95084863--0.95090433) × R
    5.56999999999919e-05 × 6371000     		dr = 354.864699999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30957650--0.30948062) × cos(-0.95084863) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.580992591290729 × 6371000     		do = 354.90018425895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30957650--0.30948062) × cos(-0.95090433) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.580947255666794 × 6371000     		du = 354.872490925972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95084863)-sin(-0.95090433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580992591290729-0.580947255666794)×R²
    abs(-0.30948062--0.30957650)×4.53356239356051e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.53356239356051e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.53356239356051e-05×40589641000000     		ar = 125936.633756073m²