Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29529 / 44335
↖ ↑ ↗
← S 53.484777°
W 17.792359°		 ← 363.48 m → S 53.484777°
W 17.786865°		 →
↑
363.40 m
↓
↑
363.40 m
↓
S 53.488045°
W 17.792359°		 ← 363.45 m →
132 084 m²		 S 53.488045°
W 17.786865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450584411621094 y=0.676506042480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450584411621094 × 216)
    floor (0.450584411621094 × 65536)
    floor (29529.5)     		tx = 29529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676506042480469 × 216)
    floor (0.676506042480469 × 65536)
    floor (44335.5)     		ty = 44335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29529 / 44335 ti = "16/29529/44335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29529/44335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29529 ÷ 216
    29529 ÷ 65536     		x = 0.450576782226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44335 ÷ 216
    44335 ÷ 65536     		y = 0.676498413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450576782226562 × 2 - 1) × π
    -0.098846435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31053524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676498413085938 × 2 - 1) × π
    -0.352996826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.10897223581038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31053524} λ = -0.31053524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10897223581038))-π/2
    2×atan(0.329897844089834)-π/2
    2×0.318655433974984-π/2
    0.637310867949968-1.57079632675     		φ = -0.93348546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31053524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.792359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93348546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.484777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29529 KachelY 44335 -0.31053524 -0.93348546 -17.792359 -53.484777
    Oben rechts KachelX + 1 29530 KachelY 44335 -0.31043936 -0.93348546 -17.786865 -53.484777
    Unten links KachelX 29529 KachelY + 1 44336 -0.31053524 -0.93354250 -17.792359 -53.488045
    Unten rechts KachelX + 1 29530 KachelY + 1 44336 -0.31043936 -0.93354250 -17.786865 -53.488045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93348546--0.93354250) × R
    5.70400000000637e-05 × 6371000     		dl = 363.401840000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93348546--0.93354250) × R
    5.70400000000637e-05 × 6371000     		dr = 363.401840000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31053524--0.31043936) × cos(-0.93348546) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.595036342336402 × 6371000     		do = 363.47883036995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31053524--0.31043936) × cos(-0.93354250) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.59499049838923 × 6371000     		du = 363.450826526971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93348546)-sin(-0.93354250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595036342336402-0.59499049838923)×R²
    abs(-0.31043936--0.31053524)×4.58439471723304e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.58439471723304e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.58439471723304e-05×40589641000000     		ar = 132083.7874692m²