Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29527 / 44679
↖ ↑ ↗
← S 54.594345°
W 17.803345°		 ← 353.87 m → S 54.594345°
W 17.797852°		 →
↑
353.85 m
↓
↑
353.85 m
↓
S 54.597528°
W 17.803345°		 ← 353.84 m →
125 209 m²		 S 54.597528°
W 17.797852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450553894042969 y=0.681755065917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450553894042969 × 216)
    floor (0.450553894042969 × 65536)
    floor (29527.5)     		tx = 29527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681755065917969 × 216)
    floor (0.681755065917969 × 65536)
    floor (44679.5)     		ty = 44679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29527 / 44679 ti = "16/29527/44679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29527/44679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29527 ÷ 216
    29527 ÷ 65536     		x = 0.450546264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44679 ÷ 216
    44679 ÷ 65536     		y = 0.681747436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450546264648438 × 2 - 1) × π
    -0.098907470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31072698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681747436523438 × 2 - 1) × π
    -0.363494873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.14195282274898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31072698} λ = -0.31072698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14195282274898))-π/2
    2×atan(0.319195081375772)-π/2
    2×0.308972622887012-π/2
    0.617945245774023-1.57079632675     		φ = -0.95285108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31072698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.803345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95285108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.594345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29527 KachelY 44679 -0.31072698 -0.95285108 -17.803345 -54.594345
    Oben rechts KachelX + 1 29528 KachelY 44679 -0.31063111 -0.95285108 -17.797852 -54.594345
    Unten links KachelX 29527 KachelY + 1 44680 -0.31072698 -0.95290662 -17.803345 -54.597528
    Unten rechts KachelX + 1 29528 KachelY + 1 44680 -0.31063111 -0.95290662 -17.797852 -54.597528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95285108--0.95290662) × R
    5.55400000000761e-05 × 6371000     		dl = 353.845340000485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95285108--0.95290662) × R
    5.55400000000761e-05 × 6371000     		dr = 353.845340000485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31072698--0.31063111) × cos(-0.95285108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.579361615778761 × 6371000     		do = 353.866989325098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31072698--0.31063111) × cos(-0.95290662) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.579316345862885 × 6371000     		du = 353.839339014133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95285108)-sin(-0.95290662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579361615778761-0.579316345862885)×R²
    abs(-0.31063111--0.31072698)×4.5269915875279e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5269915875279e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5269915875279e-05×40589641000000     		ar = 125209.293217798m²