Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29518 / 44870
↖ ↑ ↗
← S 55.197683°
W 17.852783°		 ← 348.64 m → S 55.197683°
W 17.847290°		 →
↑
348.62 m
↓
↑
348.62 m
↓
S 55.200818°
W 17.852783°		 ← 348.61 m →
121 539 m²		 S 55.200818°
W 17.847290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450416564941406 y=0.684669494628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450416564941406 × 216)
    floor (0.450416564941406 × 65536)
    floor (29518.5)     		tx = 29518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684669494628906 × 216)
    floor (0.684669494628906 × 65536)
    floor (44870.5)     		ty = 44870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29518 / 44870 ti = "16/29518/44870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29518/44870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29518 ÷ 216
    29518 ÷ 65536     		x = 0.450408935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44870 ÷ 216
    44870 ÷ 65536     		y = 0.684661865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450408935546875 × 2 - 1) × π
    -0.09918212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31158985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684661865234375 × 2 - 1) × π
    -0.36932373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16026471840384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31158985} λ = -0.31158985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16026471840384))-π/2
    2×atan(0.31340320630411)-π/2
    2×0.303707506527059-π/2
    0.607415013054118-1.57079632675     		φ = -0.96338131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31158985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.852783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96338131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.197683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29518 KachelY 44870 -0.31158985 -0.96338131 -17.852783 -55.197683
    Oben rechts KachelX + 1 29519 KachelY 44870 -0.31149397 -0.96338131 -17.847290 -55.197683
    Unten links KachelX 29518 KachelY + 1 44871 -0.31158985 -0.96343603 -17.852783 -55.200818
    Unten rechts KachelX + 1 29519 KachelY + 1 44871 -0.31149397 -0.96343603 -17.847290 -55.200818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96338131--0.96343603) × R
    5.47199999999526e-05 × 6371000     		dl = 348.621119999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96338131--0.96343603) × R
    5.47199999999526e-05 × 6371000     		dr = 348.621119999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31158985--0.31149397) × cos(-0.96338131) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.570746772111218 × 6371000     		do = 348.641510449333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31158985--0.31149397) × cos(-0.96343603) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.570701839234894 × 6371000     		du = 348.61406313533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96338131)-sin(-0.96343603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570746772111218-0.570701839234894)×R²
    abs(-0.31149397--0.31158985)×4.49328763236778e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.49328763236778e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.49328763236778e-05×40589641000000     		ar = 121539.009524801m²