Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29517 / 44619
↖ ↑ ↗
← S 54.402946°
W 17.858276°		 ← 355.53 m → S 54.402946°
W 17.852783°		 →
↑
355.50 m
↓
↑
355.50 m
↓
S 54.406143°
W 17.858276°		 ← 355.50 m →
126 386 m²		 S 54.406143°
W 17.852783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450401306152344 y=0.680839538574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450401306152344 × 216)
    floor (0.450401306152344 × 65536)
    floor (29517.5)     		tx = 29517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680839538574219 × 216)
    floor (0.680839538574219 × 65536)
    floor (44619.5)     		ty = 44619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29517 / 44619 ti = "16/29517/44619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29517/44619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29517 ÷ 216
    29517 ÷ 65536     		x = 0.450393676757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44619 ÷ 216
    44619 ÷ 65536     		y = 0.680831909179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450393676757812 × 2 - 1) × π
    -0.099212646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31168572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680831909179688 × 2 - 1) × π
    -0.361663818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13620039479457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31168572} λ = -0.31168572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13620039479457))-π/2
    2×atan(0.321036519376676)-π/2
    2×0.310642900367056-π/2
    0.621285800734112-1.57079632675     		φ = -0.94951053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31168572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.858276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94951053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.402946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29517 KachelY 44619 -0.31168572 -0.94951053 -17.858276 -54.402946
    Oben rechts KachelX + 1 29518 KachelY 44619 -0.31158985 -0.94951053 -17.852783 -54.402946
    Unten links KachelX 29517 KachelY + 1 44620 -0.31168572 -0.94956633 -17.858276 -54.406143
    Unten rechts KachelX + 1 29518 KachelY + 1 44620 -0.31158985 -0.94956633 -17.852783 -54.406143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94951053--0.94956633) × R
    5.58000000000503e-05 × 6371000     		dl = 355.50180000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94951053--0.94956633) × R
    5.58000000000503e-05 × 6371000     		dr = 355.50180000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31168572--0.31158985) × cos(-0.94951053) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.582081162255043 × 6371000     		do = 355.528055052758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31168572--0.31158985) × cos(-0.94956633) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.582035788656316 × 6371000     		du = 355.500341413575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94951053)-sin(-0.94956633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582081162255043-0.582035788656316)×R²
    abs(-0.31158985--0.31168572)×4.53735987265835e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53735987265835e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53735987265835e-05×40589641000000     		ar = 126385.937430378m²