Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29509 / 44879
↖ ↑ ↗
← S 55.225890°
W 17.902222°		 ← 348.36 m → S 55.225890°
W 17.896729°		 →
↑
348.30 m
↓
↑
348.30 m
↓
S 55.229023°
W 17.902222°		 ← 348.33 m →
121 329 m²		 S 55.229023°
W 17.896729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450279235839844 y=0.684806823730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450279235839844 × 216)
    floor (0.450279235839844 × 65536)
    floor (29509.5)     		tx = 29509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684806823730469 × 216)
    floor (0.684806823730469 × 65536)
    floor (44879.5)     		ty = 44879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29509 / 44879 ti = "16/29509/44879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29509/44879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29509 ÷ 216
    29509 ÷ 65536     		x = 0.450271606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44879 ÷ 216
    44879 ÷ 65536     		y = 0.684799194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450271606445312 × 2 - 1) × π
    -0.099456787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31245271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684799194335938 × 2 - 1) × π
    -0.369598388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.161127582597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31245271} λ = -0.31245271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.161127582597))-π/2
    2×atan(0.313132898535587)-π/2
    2×0.303461355273706-π/2
    0.606922710547412-1.57079632675     		φ = -0.96387362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31245271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.902222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96387362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.225890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29509 KachelY 44879 -0.31245271 -0.96387362 -17.902222 -55.225890
    Oben rechts KachelX + 1 29510 KachelY 44879 -0.31235684 -0.96387362 -17.896729 -55.225890
    Unten links KachelX 29509 KachelY + 1 44880 -0.31245271 -0.96392829 -17.902222 -55.229023
    Unten rechts KachelX + 1 29510 KachelY + 1 44880 -0.31235684 -0.96392829 -17.896729 -55.229023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96387362--0.96392829) × R
    5.46700000000344e-05 × 6371000     		dl = 348.302570000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96387362--0.96392829) × R
    5.46700000000344e-05 × 6371000     		dr = 348.302570000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31245271--0.31235684) × cos(-0.96387362) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.570342454356561 × 6371000     		do = 348.358195832763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31245271--0.31235684) × cos(-0.96392829) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.570297547182735 × 6371000     		du = 348.330767080205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96387362)-sin(-0.96392829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570342454356561-0.570297547182735)×R²
    abs(-0.31235684--0.31245271)×4.4907173825548e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4907173825548e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4907173825548e-05×40589641000000     		ar = 121329.278166875m²