Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29487 / 44623
↖ ↑ ↗
← S 54.415734°
W 18.023072°		 ← 355.45 m → S 54.415734°
W 18.017578°		 →
↑
355.37 m
↓
↑
355.37 m
↓
S 54.418930°
W 18.023072°		 ← 355.43 m →
126 314 m²		 S 54.418930°
W 18.017578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449943542480469 y=0.680900573730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449943542480469 × 216)
    floor (0.449943542480469 × 65536)
    floor (29487.5)     		tx = 29487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680900573730469 × 216)
    floor (0.680900573730469 × 65536)
    floor (44623.5)     		ty = 44623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29487 / 44623 ti = "16/29487/44623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29487/44623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29487 ÷ 216
    29487 ÷ 65536     		x = 0.449935913085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44623 ÷ 216
    44623 ÷ 65536     		y = 0.680892944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449935913085938 × 2 - 1) × π
    -0.100128173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31456194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680892944335938 × 2 - 1) × π
    -0.361785888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13658388999153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31456194} λ = -0.31456194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13658388999153))-π/2
    2×atan(0.320913427017619)-π/2
    2×0.310531305102761-π/2
    0.621062610205522-1.57079632675     		φ = -0.94973372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31456194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.023072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94973372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.415734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29487 KachelY 44623 -0.31456194 -0.94973372 -18.023072 -54.415734
    Oben rechts KachelX + 1 29488 KachelY 44623 -0.31446606 -0.94973372 -18.017578 -54.415734
    Unten links KachelX 29487 KachelY + 1 44624 -0.31456194 -0.94978950 -18.023072 -54.418930
    Unten rechts KachelX + 1 29488 KachelY + 1 44624 -0.31446606 -0.94978950 -18.017578 -54.418930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94973372--0.94978950) × R
    5.57799999999498e-05 × 6371000     		dl = 355.37437999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94973372--0.94978950) × R
    5.57799999999498e-05 × 6371000     		dr = 355.37437999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31456194--0.31446606) × cos(-0.94973372) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.581899665119808 × 6371000     		do = 355.454271649912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31456194--0.31446606) × cos(-0.94978950) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.581854300539116 × 6371000     		du = 355.426560628656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94973372)-sin(-0.94978950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581899665119808-0.581854300539116)×R²
    abs(-0.31446606--0.31456194)×4.53645806927083e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.53645806927083e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.53645806927083e-05×40589641000000     		ar = 126314.417545088m²