Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29485 / 44622
↖ ↑ ↗
← S 54.412537°
W 18.034057°		 ← 355.44 m → S 54.412537°
W 18.028565°		 →
↑
355.44 m
↓
↑
355.44 m
↓
S 54.415734°
W 18.034057°		 ← 355.42 m →
126 334 m²		 S 54.415734°
W 18.028565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449913024902344 y=0.680885314941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449913024902344 × 216)
    floor (0.449913024902344 × 65536)
    floor (29485.5)     		tx = 29485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680885314941406 × 216)
    floor (0.680885314941406 × 65536)
    floor (44622.5)     		ty = 44622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29485 / 44622 ti = "16/29485/44622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29485/44622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29485 ÷ 216
    29485 ÷ 65536     		x = 0.449905395507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44622 ÷ 216
    44622 ÷ 65536     		y = 0.680877685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449905395507812 × 2 - 1) × π
    -0.100189208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31475368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680877685546875 × 2 - 1) × π
    -0.36175537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13648801619229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31475368} λ = -0.31475368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13648801619229))-π/2
    2×atan(0.320944195682025)-π/2
    2×0.310559200656215-π/2
    0.621118401312429-1.57079632675     		φ = -0.94967793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31475368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.034057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94967793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.412537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29485 KachelY 44622 -0.31475368 -0.94967793 -18.034057 -54.412537
    Oben rechts KachelX + 1 29486 KachelY 44622 -0.31465781 -0.94967793 -18.028565 -54.412537
    Unten links KachelX 29485 KachelY + 1 44623 -0.31475368 -0.94973372 -18.034057 -54.415734
    Unten rechts KachelX + 1 29486 KachelY + 1 44623 -0.31465781 -0.94973372 -18.028565 -54.415734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94967793--0.94973372) × R
    5.579e-05 × 6371000     		dl = 355.43809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94967793--0.94973372) × R
    5.579e-05 × 6371000     		dr = 355.43809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31475368--0.31465781) × cos(-0.94967793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.581945036022255 × 6371000     		do = 355.444910814595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31475368--0.31465781) × cos(-0.94973372) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.581899665119808 × 6371000     		du = 355.417198822267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94967793)-sin(-0.94973372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581945036022255-0.581899665119808)×R²
    abs(-0.31465781--0.31475368)×4.53709024464954e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53709024464954e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53709024464954e-05×40589641000000     		ar = 126333.735284092m²