Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29484 / 44636
↖ ↑ ↗
← S 54.457267°
W 18.039551°		 ← 355.09 m → S 54.457267°
W 18.034057°		 →
↑
355.06 m
↓
↑
355.06 m
↓
S 54.460460°
W 18.039551°		 ← 355.07 m →
126 073 m²		 S 54.460460°
W 18.034057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449897766113281 y=0.681098937988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449897766113281 × 216)
    floor (0.449897766113281 × 65536)
    floor (29484.5)     		tx = 29484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681098937988281 × 216)
    floor (0.681098937988281 × 65536)
    floor (44636.5)     		ty = 44636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29484 / 44636 ti = "16/29484/44636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29484/44636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29484 ÷ 216
    29484 ÷ 65536     		x = 0.44989013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44636 ÷ 216
    44636 ÷ 65536     		y = 0.68109130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44989013671875 × 2 - 1) × π
    -0.1002197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31484956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68109130859375 × 2 - 1) × π
    -0.3621826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13783024938165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31484956} λ = -0.31484956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13783024938165))-π/2
    2×atan(0.320513702706258)-π/2
    2×0.310168860797451-π/2
    0.620337721594902-1.57079632675     		φ = -0.95045861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31484956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.039551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95045861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.457267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29484 KachelY 44636 -0.31484956 -0.95045861 -18.039551 -54.457267
    Oben rechts KachelX + 1 29485 KachelY 44636 -0.31475368 -0.95045861 -18.034057 -54.457267
    Unten links KachelX 29484 KachelY + 1 44637 -0.31484956 -0.95051434 -18.039551 -54.460460
    Unten rechts KachelX + 1 29485 KachelY + 1 44637 -0.31475368 -0.95051434 -18.034057 -54.460460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95045861--0.95051434) × R
    5.57300000000316e-05 × 6371000     		dl = 355.055830000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95045861--0.95051434) × R
    5.57300000000316e-05 × 6371000     		dr = 355.055830000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31484956--0.31475368) × cos(-0.95045861) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.581309987821605 × 6371000     		do = 355.094066399582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31484956--0.31475368) × cos(-0.95051434) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.581264640410737 × 6371000     		du = 355.066365866539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95045861)-sin(-0.95051434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581309987821605-0.581264640410737)×R²
    abs(-0.31475368--0.31484956)×4.53474108681462e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.53474108681462e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.53474108681462e-05×40589641000000     		ar = 126073.300888113m²