Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29484 / 43540
↖ ↑ ↗
← S 50.805935°
W 18.039551°		 ← 386.03 m → S 50.805935°
W 18.034057°		 →
↑
386.02 m
↓
↑
386.02 m
↓
S 50.809406°
W 18.039551°		 ← 386 m →
149 008 m²		 S 50.809406°
W 18.034057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449897766113281 y=0.664375305175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449897766113281 × 216)
    floor (0.449897766113281 × 65536)
    floor (29484.5)     		tx = 29484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664375305175781 × 216)
    floor (0.664375305175781 × 65536)
    floor (43540.5)     		ty = 43540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29484 / 43540 ti = "16/29484/43540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29484/43540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29484 ÷ 216
    29484 ÷ 65536     		x = 0.44989013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43540 ÷ 216
    43540 ÷ 65536     		y = 0.66436767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44989013671875 × 2 - 1) × π
    -0.1002197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31484956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66436767578125 × 2 - 1) × π
    -0.3287353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03275256541449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31484956} λ = -0.31484956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03275256541449))-π/2
    2×atan(0.356025626769091)-π/2
    2×0.342032743139052-π/2
    0.684065486278105-1.57079632675     		φ = -0.88673084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31484956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.039551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88673084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.805935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29484 KachelY 43540 -0.31484956 -0.88673084 -18.039551 -50.805935
    Oben rechts KachelX + 1 29485 KachelY 43540 -0.31475368 -0.88673084 -18.034057 -50.805935
    Unten links KachelX 29484 KachelY + 1 43541 -0.31484956 -0.88679143 -18.039551 -50.809406
    Unten rechts KachelX + 1 29485 KachelY + 1 43541 -0.31475368 -0.88679143 -18.034057 -50.809406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88673084--0.88679143) × R
    6.0590000000027e-05 × 6371000     		dl = 386.018890000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88673084--0.88679143) × R
    6.0590000000027e-05 × 6371000     		dr = 386.018890000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31484956--0.31475368) × cos(-0.88673084) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.631949030534559 × 6371000     		do = 386.027000586571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31484956--0.31475368) × cos(-0.88679143) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.63190207152172 × 6371000     		du = 385.998315604079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88673084)-sin(-0.88679143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631949030534559-0.63190207152172)×R²
    abs(-0.31475368--0.31484956)×4.69590128392428e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.69590128392428e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.69590128392428e-05×40589641000000     		ar = 149008.177849625m²